AB: Lektion Exponentialfunktionen (Teil 2)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Exponentialfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Es sind jeweils zwei Punkte der Exponentialfunktion der Form f(x) = b·ax bekannt. Berechne die Funktionsgleichungen.

a)

A(0|2) und B(1|8)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·ax

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·ax = y
   f(0) = b·a0 = 2
II: f(x) = b·ax = y
    f(1) = b·a1 = 8

Beide Gleichungen nach a auflösen:
b·a0 = 2
Hier ergibt sich jedoch a0 zu 1, damit:
b = 2

Diesen Wert für b eingesetzt in b·a1 = 8 ergibt:
2·a1 = 8
a1 = 8:2 a = 4

Zusammengefasst:
f(x) = b·ax   | b=2; a=4
→ f(x) = 2·4x

b)

A(-1|0,5) und B(1|4,5)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·ax

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·ax = y
   f(-1) = b·a-1 = 0,5
II: f(x) = b·ax = y
    f(1) = b·a1 = 4,5

Gleichung I nach a aufgelöst:
b·a-1 = 0,5   |·a1
b·a-1·a1 = 0,5·a1
b·a-1+1 = 0,5·a
b·a0 = 0,5·a
b·1 = 0,5·a
b = 0,5·a   |·2
2·b = 2·0,5·a
a = 2·b

Gleichung II nach a aufgelöst:
b·a1 = 4,5   |:b
a = 4,5:b

Beide Terme für a gleichsetzen:
a = a
2·b = 4,5:b   |·b
2·b2 = 4,5   |:2
b2 = 2,25   |±√
b1,2 = ±√2,25
b1 = +1,5
b2 = -1,5

Den Wert für b1 = 1,5 einsetzen in Gleichung I oder II: b·a1 = 4,5   |b=1,5
1,5·a1 = 4,5   |:1,5
a = 3

Und das Gleiche für b2 = 1,5 in Gleichung I oder II: b·a1 = 4,5   |b=-1,5
-1,5·a1 = 4,5   |:(-1,5)
a = -3

Der Wert für a darf nicht negativ sein und ist damit keine Lösung.

Zusammengefasst:
f(x) = b·ax   | b=1,5; a=3
→ f(x) = 1,5·3x

c)

A(0|3) und B(3|375)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·ax

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·ax = y
   f(0) = b·a0 = 3
II: f(x) = b·ax = y
    f(3) = b·a3 = 375

Beide Gleichungen nach a auflösen:
b·a0 = 3
Hier ergibt sich jedoch a0 zu 1, damit:
b = 3

Diesen Wert für b eingesetzt in b·a3 = 375 ergibt:
3·a3 = 375
a3 = 375:3
a3 = 125   | ³√
a = ³√125
a = 5

Zusammengefasst:
f(x) = b·ax   | b=3; a=5
→ f(x) = 3·5x

d)

A(1|3,5) und B(2|24,5)

Gleichung der Exponentialfunktion allgemein:
f(x) = b·ax

Gegebene x- und y-Werte der Punkte einsetzen:
I: f(x) = b·ax = y
   f(1) = b·a1 = 3,5
II: f(x) = b·ax = y
    f(2) = b·a2 = 24,5

Gleichung I nach a aufgelöst:
b·a1 = 3,5   |:b
a = 3,5:b

Gleichung II nach a aufgelöst:
b·a2 = 24,5   |:b
a2 = 24,5:b   |√
a = \( \sqrt{24,5:b} \)

Beide Terme für a gleichsetzen:
a = a
3,5:b = \( \sqrt{24,5:b} \)   |·b
3,5 = \( \sqrt{24,5:b} \) · b | ()2
3,52 = \( \sqrt{24,5:b}^2 \) · b2
12,25 = 24,5:b · b2
12,25 = 24,5 · b·b : b
12,25 = 24,5 · b·1   |:24,5
b = 0,5

Den Wert für b = 0,5 einsetzen in Gleichung I oder II: a = 3,5:b   |b=0,5
a = 3,5:0,5
a = 7

Zusammengefasst:
f(x) = b·ax   | b=0,5; a=7
→ f(x) = 0,5·7x

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