AB: Lektion Exponentialgleichungen (Teil 1)

Wie die Überschrift es schon andeutet, wird hier mittels des Exponentenvergleichs die Lösung gesucht. Dafür berücksichtige, dass jeweils die gleiche Basis vorliegt. Nur dann ist ein Exponentenvergleich erlaubt.

3^x+2 = 3^2x   | Betrachten der Exponenten
x+2 = 2x   | -x
x = 2

Hier haben wir das gleiche Beispiel nochmals. Doch ist der Exponentenvergleich nur anzuwenden, wenn wir es schaffen rechts ebenfalls eine 3 als Basis zu schreiben. Dabei bedenke man, dass 9 = 3² ist. Das Potenzgesetz (a^m)ⁿ = a^m·n lässt uns 9^x wie folgt schreiben: 9^x = (3²) ^x = 3^2x.

Damit haben wir dies auf das Problem aus Aufgabe 1 reduziert. Wir erhalten wieder x = 2. Sauber aufgeschrieben:

3^x+2 = 9^x

3^x+2 = (3²)^x

3^x+2 = 3^2x | Betrachten der Exponenten

x+2 = 2x | -x

x = 2

Auch hier braucht es wieder die gleiche Basis. Schaffen wir sie uns.

8^3x+1 = 4^5x

(2³)^3x+1 = (2²)^5x

2^3·(3x+1) = 2^2·5x

2^9x+3 = 2^10x   | Betrachten der Exponenten

9x+3 = 10x   | -9x

x = 3

Hier wird es etwas kniffliger. Beginnen wir damit 3^x+1 als 3^x·3¹ zu schreiben, dann können wir wegen des gleichen Exponenten folgendes sagen: 2^x·3^x = 6^x. Wieder sauber aufgeschrieben sieht das so aus:

2^x · 3^x+1 = 108

2^x · 3^x · 3 = 108  | 2^x · 3^x = 6^x

6^x · 3 = 108   | :3

6^x = 36

6^x = 6²  | Betrachten der Exponenten

x = 2

8^x+2 = 2^x+10

(2³)^x+2 = 2^x+10

2^3x+6 = 2^x+10   | Betrachten der Exponenten

3x+6 = x+10   | -x -6

2x = 4   | :2

x = 2

2^4x+3 = 16^-x-3

2^4x+3 = (2⁴)^-x-3

2^4x+3 = 2^-4x-12   | Vergleich der Exponenten

4x+3 = -4x-12   | +4x-3

8x = -15   | :8

x = - \( \frac{15}{8} \)

Hier ist es wieder nötig zu erkennen, dass rechts der gleiche Exponent vorliegt. Und damit gilt 2^1+x · 5^1+x = (2·5)^1+x = 10^1+x

10^5x = 2^1+x · 5^x+1

10^5x = 10^1+x   | Vergleich der Exponenten

5x = 1+x  | -x

4x = 1  | :4

x = \( \frac{1}{4} \)

Gleiches Verfahren nochmals angewendet:

12^x = 3^2x+2 · 4^2(x+1)

12^x = 3^2x+2 · 4^2x+2

12^x = 12^2x+2   | Vergleich der Exponenten

x = 2x+2   | -x-2

x = -2

Wie es die Aufgabenstellung schon besagt, ist hier direkt mit dem Logarithmus zu arbeiten. Vorher ist es jedoch sinnvoll noch zu vereinfachen.

$$ 8 · 7,5^{5x-8} = 450 \qquad |:8 \\ 7,5^{5x-8} = 56,25 \qquad | log \\ \log(7,5^{5x-8}) = log(56,25) \qquad | \text{ mit } \log(ab) = b · \log(a) \\ (5x-8) · log(7,5) = log(56,25) \qquad | :log(7,5) \\ 5x-8 = \frac{\log(56,25)}{\log(7,5)} \qquad | +8 \\ 5x = \frac{\log(56,25)}{\log(7,5)} + 8 \qquad | :5 \\ x = (\frac{\log(56,25)}{\log(7,5)} + 8) : 5 $$

Mit dem Taschenrechner errechnet sich x ≈ 2.

$$ \frac{1}{2·4^x} - 3 = 0 \qquad |+3 \\ 12·4^x = 3 \qquad | ·2·4^x \\ 1 = 6·4^x \qquad | :6 \\ \frac{1}{6} = 4^x \qquad | \log \\ \log( \frac{1}{6} ) = \log( 4^x ) \qquad | \log(a^b) = b · \log(a) \\ \log( \frac{1}{6} ) = x · \log(4) \qquad | \text{ mit } \log( ab ) = \log(a)-\log(b)\text{ und } :\log(4) \\ \log( 1 ) - \log( 6 ) = x · \log(4) \qquad |:\log(4) \\ x = \frac{\log(1) - \log(6)}{\log(4)} \qquad | \text{ mit } \log(1) = 0, \text{ da } 10^0 = 1 \\ x = \frac{-\log(6)}{\log(4)} $$

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ -1,2925.

3 · 2^x+3 = 64 · 3^x-2   | log

log(3 · 2^x+3) = log(64 · 3^x-2)   | Regel log(a · b) = log(a)+log(b)

log(3) + log(2^x+3) = log(64) + log(3^x-2)   | Regel log(a^b) = b · log(a)

log(3) + (x+3)·log(2) = log(64) + (x-2)·log(3)

log(3) + x · log(2) + 3·log(2) = log(64) + x · log(3) - 2·log(3)   | Sortieren

log(3) + 3·log(2) - log(64) + 2·log(3) = x · log(3) - x · log(2)

3·log(3) + 3·log(2) - log(64) = x·(log(3) - log(2))   | :(log(3)-log(2))

\( x = \frac{3·log(3) + 3·log(2) - log(64)}{log(3) - log(2)} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich x = 3

(2 - 5^x)² = (5^x - 3)²   | Binomische Formel

4 - 2 · 2 · 5^x + 5^2x = 5^2x - 2 · 3 · 5^x + 9   | -5^2x

4 - 4 · 5^x = -6 · 5^x + 9   | +6 · 5^x -4

2 · 5^x = 5   | :2

5^x = 2,5   | log

log(5^x) = log(2,5)

x · log(5) = log(2,5)   | :log(5)

\( x = \frac{log(2,5)}{log(5)} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 0,569

2^6x+2 = 12   | log

log(2^6x+2) = log(12)

(6x+2)·log(2) = log(12)  | :log(2)

6x+2 = \( \frac{log(12)}{log(2)} \)   | -2

6x = \( \frac{log(12)}{log(2)} - 2 \)   | :6

x = \( (\frac{log(12)}{log(2)} - 2) · \frac{1}{6} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 0,264

3^4x-1 = 2^x   | log

log(3^4x-1) = log(2^x)

(4x-1)·log(3) = x · log(2)   | - x·log(2)

4x · log(3) - log(3) - x · log(2) = 0   | +log(3)

4x · log(3) - x · log(2) = log(3)   | x ausklammern

x·(4·log(3) - log(2)) = log(3)   | :(4·log(3) - log(2))

\( x = \frac{log(3)}{4·log(3)-log(2)} \)

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 0,297

3 · 7^2x-3 = 16   | :3

7^2x-3 = \( \frac{16}{3} \)   | log

log(7^2x-3) = log(\( \frac{16}{3} \))

(2x-3)·log(7) = log(\( \frac{16}{3} \))   | :log(7)

2x-3 = log(\( \frac{16}{3} \)) : log(7)   | +3

2x = log(\( \frac{16}{3} \)) : log(7) + 3   | :2

x = (log(\( \frac{16}{3} \)) : log(7) + 3) : 2

Mit dem Taschenrechner ergibt sich ein Näherungswert von x ≈ 1,930

2^x+9 = 16^x   | log

log(2^x+9) = log(16^x)

(x+9)·log(2) = x·log(16)

(x+9)·log(2) = x·log(2⁴)

x·log(2) + 9·log(2) = 4·x·log(2)   | - x·log(2)

9 log(2) = 4·x·log(2) - x·log(2)

9 log(2) = 3·x·log(2)   | :( 3·log(2) )

9 log(2) :( 3·log(2) ) = x

x = 3

Diese Aufgabe hätte man auch gut mit dem Exponentenvergleich lösen können, wenn man 16^x = (2⁴)^x = 2^4x schreibt und mit der linken Seite vergleicht.