AB: Anwendung Integralrechnung I (Teil 2)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1.

Im unteren Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f mit \( f(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 5 \) dargestellt.

a)

Zeichne den Graphen der Funktion g mit \( g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \) ein und ermittle den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g im Intervall [-2; 3].

\( A = 7 \frac{1}{8} \text{ FE} = 7,125 \text{ FE} \)

b)

Die Gerade x = u mit 1 < 11 < 3 und \( u ∈ \mathbb{R} \) schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Graphen von g im Punkt Q. Zusammen mit dem Wendpunkt W von f bilden die Punkte P und Q das Dreieck WPQ. Untersuchen Sie, für welchen Wert von u das zugehörige Dreieck WPQ den absolut größten Flächeninhalt besitzt.

Abbildung Funktionsgraph

\( A(u) = -\frac{1}{4}u^4 + u^3 - \frac{1}{2}u^2 - u + \frac{3}{4} \\ ⇒ u = 1 + \sqrt{2} = 2,414 \\ ⇒ A(1 + \sqrt{2}) = 1 \text{ FE} \)

2.

Im Schnittpunkt des Graphen der Funktion f mit \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 5 \) mit der y-Achse wird die Tangente an den Graphen von f gezeichnet. In welchem Verhältnis wird die von dieser Tangente und den beiden Achsen eingeschlossene Fläche durch den Graphen von f geteilt?

Das Verhältnis der Flächen ist 8 : 17.

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