AB: Lektion Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen (Teil 3)

Die nachfolgenden Aufgaben prüfen, ob du das Wissen aus der Lektion „Irrationale Zahlen“ beherrschst. Viel Erfolg!

1.

Welche der folgenden Dezimalzahlen ist irrational und welche rational?

a)

1,2345

1,2345 → rational, da sie als Bruch darstellt werden kann, z. B. \( \frac{12345}{10000} \)

b)

0,5000000000… (Periode 0)

0,5000000000… (Periode 0) → rational, da 0,5 als Bruch schreibbar ist, z. B. als \( \frac{5}{10} \)

c)

0,8888888…

0,8888888… → kann umgewandelt werden in den Bruch \( \frac{8}{9} \). Damit handelt es sich um eine rationale Zahl.
Merke:
\( \frac{1}{9} = 0,11111… \)
\( \frac{2}{9} = 0,22222… \)
\( \frac{3}{9} = 0,33333… \)

d)

0,9999999…

0,9999999… ist definiert als 1 und 1 ist eine rationale Zahl
Hinweis: Die Zahl 0,9 Periode 9 ist als 1 definiert, da gilt: Zwei Zahlen sind nur dann unterschiedlich, wenn ihre Differenz nicht 0 ergibt. Berechnet man 1 - 0,999... mit unendlich vielen Neunen, so lässt sich die Differenz nicht bestimmen, da sie kleiner als jede beliebige Zahl ist.

Ein anderer Ansatz wäre:
\( \frac{1}{9} \) = 0,11111…   | ·9
9 · \( \frac{1}{9} \) = 9 · 0,11111…
\( \frac{9}{9} \) = 0,99999…
1 = 0,99999…

e)

1,1111111…

1,1111111… = 1 + 0,11111…. = 1 + \( \frac{1}{9} \)= \( \frac{10}{9} \)
\( \frac{10}{9} \) ist ein Bruch, damit handelt es sich um eine rationale Zahl.

2.

Gib eine irrationale Zahl innerhalb der vorgegebenen Grenzen (Intervalle) an. Tipp: Wurzeln aus Ganzen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrational.

a)

]4; 5[

Quadratzahlen ermitteln: 4² = 16; 5² = 25
→ Die Wurzel aus einer Ganzen Zahl zwischen 16 und 25 ist demnach irrational.
Zum Beispiel: √17 = 4,12310562561766055…

b)

]1; 2[

Quadratzahlen ermitteln: 1² = 1; 2² = 4
→ Die Wurzel aus einer Ganzen Zahl zwischen 1 und 4 ist demnach irrational. Also:
√2 = 1,41421356237309505…
√3 = 1,73205080756887729…

c)

]4,5; 5,5[

Quadratzahlen ermitteln: 4,5² = 20,25; 5,5² = 30,25
→ Die Wurzel aus einer Zahl zwischen 20,25 und 30,25 ist irrational (wichtig: nur Zahlen mit 2 Nachkommastellen betrachten).
Zum Beispiel: √20,31 = 4,50666173569749963…

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