Irrationale Zahlen
Auf die irrationalen Zahlen stoßen wir, wenn wir die Wurzeln aus natürlichen Zahlen ziehen.
Gegenüberstellung von zwei Beispielen:
√25 = 5 ← rationale Zahl
Die Wurzel aus der natürlichen Zahl 25 ergibt die natürliche bzw. rationale Zahl 5, da 5² = 25.
Wir können festhalten: √25 und 5 sind Element von ℚ. Kurz: √25 ∈ ℚ, 5 ∈ ℚ.
√26 = 5,0990195… ← irrationale Zahl
Die Wurzel aus der natürliche Zahl 26 ergibt keine rationale Zahl mehr. Wir lassen damit √26 unangetastet als Ergebnis stehen.
Das Ergebnis lässt sich nicht als Bruch darstellen! Es ist damit nicht Element von ℚ. Kurz: √26 ∉ ℚ.
√26 ist eine irrationale Zahl.
Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen I in LaTex: \( \mathbb{I} \)
Eigenschaften irrationaler Zahlen
Irrationale Zahlen haben die folgenden Eigenschaften:
- sind nicht als Bruch darstellbar
- haben unendlich viele Nachkommastellen (Dezimaldarstellung bricht nicht ab)
- haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind
Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind keine Teilmenge der irrationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \not\subset \mathbb{I} \)
Beispiele für Irrationale Zahlen
√2 = 1,41421356237309505…
√3 = 1,73205080756887729…
√5 = 2,2360679774997897…
√6 = 2,4494897427831781…
√7 = 2,64575131106459059…
π = 3,14159265… (Kreiszahl Pi)
e = 2,71828182… (Eulersche Zahl)
