Irrationale Zahlen
Auf die irrationalen Zahlen stoßen wir, wenn wir die Wurzeln aus natürlichen Zahlen ziehen.
Gegenüberstellung von zwei Beispielen:
√25 = 5 ← rationale Zahl
Die Wurzel aus der natürlichen Zahl 25 ergibt die natürliche bzw. rationale Zahl 5, da 5² = 25.
Wir können festhalten: √25 und 5 sind Element von ℚ.
Kurz: √25 ∈ ℚ, 5 ∈ ℚ.
√26 = 5,0990195… ← irrationale Zahl
Die Wurzel aus der natürliche Zahl 26 ergibt keine rationale Zahl mehr.
Wir lassen damit √26 unangetastet als Ergebnis stehen.
Das Ergebnis lässt sich nicht als Bruch darstellen! Es ist damit nicht Element von ℚ.
Kurz: √26 ∉ ℚ.
√26 ist eine irrationale Zahl.
Die irrationale Zahlen sind eine Zahlenmenge, die sich aus Zahlen ergibt, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Sie haben unendlich viele Nachkommastellen, welche nicht periodisch sind.
Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen I in LaTex: \( \mathbb{I} \)
Eigenschaften irrationaler Zahlen
Irrationale Zahlen haben die folgenden Eigenschaften:
- sind nicht als Bruch darstellbar
- haben unendlich viele Nachkommastellen (Dezimaldarstellung bricht nicht ab)
- haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind
Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind keine Teilmenge der irrationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \not\subset \mathbb{I} \)
Beispiele für Irrationale Zahlen
- √2 = 1,41421356237309505…
- √3 = 1,73205080756887729…
- √5 = 2,2360679774997897…
- √6 = 2,4494897427831781…
- √7 = 2,64575131106459059…
- π = 3,14159265… (Kreiszahl Pi)
- e = 2,71828182… (Eulersche Zahl)