Irrationale Zahlen

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Auf die irrationalen Zahlen stoßen wir, wenn wir die Wurzeln aus Natürlichen Zahlen ziehen.

Gegenüberstellung von zwei Beispielen:

√25 = 5 ← rationale Zahl
Die Wurzel aus der natürlichen Zahl 25 ergibt die natürliche bzw. rationale Zahl 5, da 5² = 25. Wir können festhalten: √25 und 5 sind Element von ℚ. Kurz: √25 ∈ ℚ, 5 ∈ ℚ.

√26 = 5,0990195… ← irrationale Zahl
Die Wurzel aus der natürliche Zahl 26 ergibt keine rationale Zahl mehr. Wir lassen damit √26 unangetastet als Ergebnis stehen.
Das Ergebnis lässt sich nicht als Bruch darstellen! Es ist damit nicht Element von ℚ. Kurz: √26 ∉ ℚ.
√26 ist eine irrationale Zahl.

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen I in LaTex: \( \mathbb{I} \)

Eigenschaften

Irrationale Zahlen haben die folgenden Eigenschaften:

• sind nicht als Bruch darstellbar
• haben unendlich viele Nachkommastellen (Dezimaldarstellung bricht nicht ab)
• haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind

Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind keine Teilmenge der irrationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \not\subset \mathbb{I} \)

Beispiele für Irrationale Zahlen

√2 = 1,41421356237309505…
√3 = 1,73205080756887729…
√5 = 2,2360679774997897…
√6 = 2,4494897427831781…
√7 = 2,64575131106459059…
π = 3,14159265… (Kreiszahl Pi)
e = 2,71828182… (Eulersche Zahl)