Natürliche Zahlen

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Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen man zuerst in Berührung kommt. Angefangen als Kind beim Abzählen mit Hilfe der Finger. Die Zahlen kommen „aus der Natur“.

Die natürlichen Zahlen sind die ersten Zahlen, mit denen man in Berührung kommt. Sie werden zuerst zum Zählen von Dingen verwendet.

Die Anzahl an Fingern erhält jeweils ein Zahlzeichen.

  • \( I → 1 \) Auto,
  • \( II → 2 \) Äpfel,
  • \( III → 3 \) Stück Kuchen,
  • \( IIII → 4 \) Tassen,
  • \( IIIII → 5 \) Lutscher
  • \( IIIIII → 6 \) Stifte,
  • \( IIIIIII → 7 \) Häuser,
  • \( IIIIIIII → 8 \) Bäume,
  • \( IIIIIIIII → 9 \) Tische,
  • \( IIIIIIIIII → 10 \) Stühle
  • usw.

Die natürlichen Zahlen werden mit den Ziffern \( 1, \space 2, \space 3, \space 4, \space 5, \space 6, \space 7, \space 8, \space 9, \space 0 \) dargestellt.

Beispiele für natürlichen Zahlen sind: \( 1, \space 2, \space 3, \space 10, \space 15, \space 72, \space 140, \space 2~359, \space … \)

Jeder natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Zum Beispiel hat die Zahl 5 den Nachfolger 6 oder die Zahl 112 hat den Nachfolger 113. Die natürlichen Zahlen sind damit abzählbar.

Die natürlichen Zahlen kann man abzählen mit 1, 2, 3, 4, 5, … Dabei addiert man stets \( +1 \) auf die vorige Zahl. Das kann man übrigens unendlich lange so fortführen, egal wie groß die Zahl auch gewählt wird. Das Zeichen für „unendlich“ ist die liegende Acht \( ∞ \).

Da jede natürliche Zahl immer einen Nachfolger (mit +1) hat, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

Wir benutzen als Abkürzung für die natürlichen Zahlen das Zeichen \( ℕ \).

Null als natürliche Zahl

Interessant ist, ob die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Hier gibt es zwei Definitionen. Die eine Definition beinhaltet die Zahl 0, die andere schließt sie aus. Welche Definition vorliegt, erkennt man entweder an der Schreibweise (\( ℕ \) oder \( ℕ_0 \)).

Aufgeschrieben werden die natürlichen Zahlen grundsätzlich mit:

\( \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, \ldots \} \)

Oder wenn die Null enthalten sein soll, dann mit einer tiefgestellten Null:

\( \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, \ldots \} \)

Man schreibt also eine kleine Null an das ℕ heran, um deutlich zu machen, dass die 0 in der Zahlenmenge enthalten sein soll.

Nebenbemerkung: Bei ℕ ohne 0 kann man übrigens auch von allen „positiven ganzen Zahlen“ sprechen, während man bei ℕ0 von allen „nichtnegativen ganzen Zahlen“ spricht.

Wir benötigen zum Schreiben von natürlichen Zahlen keine Vorzeichen oder Kommas oder dergleichen.

Mengenschreibweise

Man verwendet das Zeichen \( \in \), um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen \( \notin \), um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört. Im Folgenden ein paar Beispiele bezüglich der Zahlenmengen:

  • \( 1 ∈ ℕ \) Wir sagen: „1 ist Element der natürlichen Zahlen.“
  • \( 205 ∈ ℕ \) Wir sagen: „205 ist Element der natürlichen Zahlen.“
  • \( -2 ∉ ℕ \) Wir sagen: „-2 ist nicht Element der natürlichen Zahlen.“
  • \( 0,5 ∉ ℕ \) Wir sagen: „0,5 ist nicht Element der natürlichen Zahlen.“
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