Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind die ersten Zahlen, mit denen wir in Berührung kommen. Sie werden zuerst zum Zählen von Dingen verwendet.

Die Zahlen heißen „natürlich“, weil sie auf natürliche Weise entstehen.

Kinder nutzen beim Abzählen meist die Finger. Die Anzahl an Fingern erhält jeweils ein Zahlzeichen:

  • I → 1 Auto,
  • II → 2 Äpfel,
  • III → 3 Stück Kuchen,
  • IIII → 4 Tassen,
  • IIIII → 5 Lutscher
  • IIIII I → 6 Stifte,
  • IIIII II → 7 Häuser,
  • IIIII III → 8 Bäume,
  • IIIII IIII → 9 Tische,
  • IIIII IIIII → 10 Stühle

Die natürlichen Zahlen werden mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 dargestellt.

Beispiele für natürlichen Zahlen: 3, 10, 15, 72, 140, 2 359, …

Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Zum Beispiel hat die Zahl 5 den Nachfolger 6 oder die Zahl 112 hat den Nachfolger 113.

Die natürlichen Zahlen kann man abzählen mit 1, 2, 3, 4, 5, … Dabei addiert man stets +1 auf die vorige Zahl. Das kann man übrigens unendlich lange so fortführen, egal wie groß die Zahl auch gewählt wird. Das Zeichen für „unendlich“ ist (eine liegende Acht).

Da jede natürliche Zahl immer einen Nachfolger (mit +1) hat, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

Wir benutzen als Abkürzung für die Menge der natürlichen Zahlen das Zeichen .

Mengenschreibweise

Man verwendet das Zeichen , um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen , um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört.

Im Folgenden ein paar Beispiele bezüglich der Zahlenmengen:

  • 1 ∈ ℕ → Wir sagen: „1 ist Element der natürlichen Zahlen.“
  • 205 ∈ ℕ → Wir sagen: „205 ist Element der natürlichen Zahlen.“
  • -2 ∉ ℕ → Wir sagen: „-2 ist nicht Element der natürlichen Zahlen.“
  • 0,5 ∉ ℕ → Wir sagen: „0,5 ist nicht Element der natürlichen Zahlen.“

Null als natürliche Zahl

Interessant ist die Frage, ob die Zahl 0 eine natürliche Zahl ist und damit zur Menge der natürlichen Zahlen zählt.

Tatsächlich gibt es bis heute keine eindeutige Festlegung, ob die 0 enthält oder nicht.

Daher schreibt man eine tiefgestellte 0 an das heran, um deutlich zu machen, dass die 0 in der Zahlenmenge enthalten ist. Das Zeichen ist: 0.

Hier eine Übersicht über die möglichen Definitionen:

  • 0 → die 0 ist enthalten. Beginnt bei: 0, 1, …
  • 1 → die 0 ist nicht enthalten. Beginnt bei: 1, 2, …
  • * → die 0 ist nicht enthalten. Beginnt bei: 1, 2, …
  •  → die 0 kann enthalten sein oder nicht. (Hinweis: Bei Matheretter ist sie enthalten.)

Aufgeschrieben werden die natürlichen Zahlen als Menge grundsätzlich so:

0 = { 0, 1, 2, 3, 4, … }

oder

1 = { 1, 2, 3, 4, … }

Randbemerkungen:

Bei 1 kann man auch von allen „positiven ganzen Zahlen“ sprechen, während man bei 0 von allen „nicht-negativen ganzen Zahlen“ spricht. Grund: Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.

Wir benötigen zum Schreiben von natürlichen Zahlen übrigens keine Vorzeichen oder Kommas oder dergleichen.