Irrationale Zahlen - Beweis anhand Wurzel 2

Um die Existenz der irrationalen Zahlen zu beweisen, nutzen wir einen sogenannten „Widerspruchsbeweis“.

Warum ist Wurzel 2 irrational?

Zuerst nehmen wir an, dass √2 eine rationale Zahl ist, dass also \( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \) gilt, wobei dieser Bruch vollständig gekürzt sein soll. Das heißt insbesondere, dass beide Zahlen p und q ganze Zahlen sind und nicht gerade.

Dann gilt:

\( \sqrt{2} = \frac{p}{q} \qquad | ()^2 \\ (\sqrt{2})^2 = \frac{p^2}{q^2} \\ 2 = \frac{p^2}{q^2} \qquad |·q^2 \\ p^2 = 2·q^2 \)

Also ist eine gerade Zahl und damit auch p.

Wenn p eine gerade Zahl ist, dann muss eine ganze Zahl p existieren mit der Eigenschaft p = 2·k.

Setzen wir p = 2·k in die letzte Gleichung ein, so erhalten wir:

p² = 2·q²    | p=2·k
(2·k)² = 2·q²
4·k² = 2·q²    |:2
q² = 2·k²

Damit ist also und somit auch q eine gerade Zahl.

Es gibt also zwei Aussagen:
- p ist eine gerade Zahl.
- q ist eine gerade Zahl.

Dies jedoch widerspricht der ersten Annahme, dass beide Zahlen nicht gerade sein dürfen.

Das ist ein Widerspruch!

Also ist √2 keine rationale Zahl. Die √2 gehört stattdessen zu einer neuen Zahlenmenge, den irrationalen Zahlen.