Rationale Zahlen

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Die rationalen Zahlen werden notwendig, wenn wir ganze Zahlen miteinander dividieren, denn durch die Division können Ergebnisse entstehen, die keine ganze Zahlen mehr sind. Als Beispiel:

\( 14 : 10 = 1,4 \)   (1,4 ist eine gebrochene Zahl, ein Bruch)

Die Division von zwei ganzen Zahlen ergibt keine ganze Zahl mehr. Wir schreiben \( 14 : 10 \) als \( \frac{14}{10} \). Diese Zahl ist nicht mehr in der Menge der ganzen Zahlen, wir schreiben: \( \frac{14}{10} \notin ℤ \).

Die Zahlen, die mit Hilfe von Brüchen dargestellt werden können, nennen wir rationale Zahlen.

Für diese Zahlenmenge verwenden wir das Zeichen ℚ (ℚ steht für Quotient, das Ergebnis einer Division).

Allgemein ist eine rationale Zahl eine Zahl der Form \( \frac{a}{b} \), wobei a und b ganze Zahlen sein müssen. Zudem darf a nicht 0 sein, damit keine Division durch Null auftritt. Allgemein:

$$ \mathbb{Q}=\{\frac{a}{b} \; | \; a,b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0\} $$

In Worten: ℚ (rationale Zahlen) = (sind) die ganzen Zahlen a und b "|" (unter der Bedingung, dass) b nicht 0 ist.

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Daher ist jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl.

Grund hierfür ist, dass wir sie ebenfalls als Bruch schreiben können. Zum Beispiel: \( 2 = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} \). Dies ist bekannt als Scheinbruch.

Die natürlichen und ganzen Zahlen gelten als Teilmenge der rationalen Zahlen, man schreibt \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \)

Beispiele rationaler Zahlen:

$$ \mathbb{Q} = \{ \ldots, \; -\frac{20}{9}, \; -2, \; -\frac{1}{3}, \; 0, \; \frac{1}{2}, \; \frac{5}{7}, \; 3, \; 1000, \; \ldots \} $$

Es gibt unendlich viele rationale Zahlen in Richtung minus unendlich (-∞) und in Richtung plus unendlich (+∞).

Zudem gibt es unendlich viele Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen. Beispiel: Zwischen \( \frac{1}{2} \) und \( \frac{1}{3} \) finden sich unendlich viele weitere Brüche.

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