Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen (Einführung)

Die komplexen Zahlen werden notwendig, wenn man Lösungen finden möchte für Gleichungen wie \( x^2 = -9 \). Haben wir nur die Reellen Zahlen zur Verfügung, so würden wir schreiben x = nicht definiert, da es keine reelle Zahl gibt, die quadriert -9 ergibt.

Hier helfen uns die komplexen Zahlen weiter, sie sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Es wird eine "imaginäre Einheit" mit \( i^2 = -1 \) eingeführt. Dadurch lassen sich u. a. auch Wurzeln aus negativen Werten ziehen.

Die Zahlenmenge der komplexen Zahlen hat das Zeichen ℂ.

Mit Hilfe der imaginären Einheit \( i^2 = -1 \) können Lösungsmengen bestimmt werden, die im reellen Zahlenbereich nicht existieren. Lösen wir eine entsprechende quadratische Gleichung:

$$ x^2 = -9 \\ x^2 = -1 · 9 \quad | -1 = i^2 \\ x^2 = i^2 · 9 \\ x_1 = +\sqrt{i^2} · \sqrt{9} = +i · 3 \\ x_2 = -\sqrt{i^2} · \sqrt{9} = -i · 3 $$

Die Lösungsmenge lautet: L = { +i · 3; -i · 3 }

Jede komplexe Zahl setzt sich zusammen aus einer imaginären Zahl und einer reellen Zahl. Wir notieren:

Komplexe Zahl = Realteil + Imaginärteil
z = a + b·i

Wobei a, b ∈ ℝ.

Damit gilt außerdem die Mengenzuordnung:

$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb R \subset \mathbb C $$

bzw:

$$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset (\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}) \subset \mathbb C $$

Wir können die Menge der komplexen Zahlen so festhalten:

$$ \mathbb{C} = \{ \ldots, i, 1 + 3·i, 4 - 2·i, \ldots \} $$

Allgemein definiert man die komplexen Zahlen mit:

$$ \mathbb{C}=\{z = a + b·i | a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\} $$

Komplexe Zahlen im Koordinatensystem

Nachstehend werden die komplexen Zahlen im kartesischen Koordinatensystem dargestellt.

In der obigen Abbildung sehen wir verschiedene Beispiele an komplexen Zahlen.

Punkt A: Der Realteil ist 2 und der Imaginärteil ist 3. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (2|3·i). 2 befindet sich auf der reellen Achse (horizontal) und 3 befindet sich auf der imaginären Achse (vertikal).

Punkt B: Der Realteil ist -5 und der Imaginärteil ist 1. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (-5|1·i). -5 befindet sich auf der reellen Achse und 1 befindet sich auf der imaginären Achse.

Punkt C: Der Realteil ist -4 und der Imaginärteil ist -3. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (-4|-3·i). -4 befindet sich auf der reellen Achse und -3 befindet sich auf der imaginären Achse.

Punkt D: Der Realteil ist 3,5 und der Imaginärteil ist -2. Dadurch ergibt sich die komplexe Koordinate (3,5|-2·i). 3,5 befindet sich auf der reellen Achse und -2 befindet sich auf der imaginären Achse.

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