Algebraische Zahlen (irrationale Zahlen)

Es gibt zwei Arten von irrationalen Zahlen, zum einen die algebraischen und die transzendenten Zahlen. Zu den algebraischen zählen zum Beispiel Quadratwurzeln aus Nicht-Quadratzahlen (also √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, …). Zu den transzendenten gehören zum Beispiel Pi und e.

Die algebraischen irrationalen Zahlen sind Zahlen, die Nullstellen eines Polynoms der Form \( f(x) = a_n · x^n + a_{n-1}·x^{n-1} + \ldots + a_1·x + a_0 = 0 \) sind, wobei alle Koeffizienten \( a_k \in \mathbb{Q} \).

Prüfen wir, ob Wurzel 2 algebraisch ist, indem wir für x die √2 einsetzen:

$$ f(x) = x^2 - 2 = y \quad | x = \sqrt{2} \\ f( \sqrt{2} ) = \sqrt{2} ^2 - 2 = 0 $$

√2 ist also Nullstelle eines Polynoms und damit algebraisch.

Wir können für die Menge der algebraischen irrationalen Zahlen das Zeichen \( \mathbb{A} \) verwenden.