Ganze Zahlen

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Da sich bei einer Subtraktion von zwei natürlichen Zahlen, als Beispiel \( 4 - 9 = \color{#00F}{-5} \) eine (negative) Zahl ergibt, die nicht zu den natürlichen Zahlen gehört, führen wir die ganzen Zahlen ein.

Die ganzen Zahlen werden notwendig, da mit den natürlichen Zahlen keine negativen Werte dargestellt werden können. Negative Werte (also Werte unter Null) werden im Alltag zum Beispiel benötigt bei: Höhen, Temperaturen, Kontoständen usw.

Die ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen und deren Umkehrung (mit negativem Vorzeichen) inklusive der Zahl Null.

Das Formelzeichen der ganzen Zahlen ist und die Menge wird aufgeschrieben als:

\( \mathbb{Z} = {…, \, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \, …} \)

Die Aufzählung der Zahlen kann in beide Richtungen beliebig lange fortgesetzt werden. Jede ganze Zahl hat immer einen Vorgänger (mit -1) und einen Nachfolger (mit +1). Es gibt damit unendlich viele ganze Zahlen.

Wenn wir die Vorgänger betrachten, gehen wir Richtung minus unendlich (-∞). Wenn wir die Nachfolger betrachten, gehen wir Richtung plus unendlich (+∞).

Die natürlichen Zahlen gelten als Teilmenge der ganzen Zahlen, wir schreiben \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \).

Mengenschreibweise

Wir verwenden das Zeichen , um die Zugehörigkeit zu einer Menge darzustellen, und das Zeichen , um auszudrücken, dass das Element nicht zu einer Menge gehört. Beispiele:

5 ∈ ℤ („5 ist Element der ganzen Zahlen“)
-77 ∈ ℤ („-77 ist Element der ganzen Zahlen“)
0,5 ∉ ℤ („0,5 ist nicht Element der ganzen Zahlen“)

Es gibt weitere Zahlenbereiche, die u. a. eine Division erlauben, bei der ein Rest übrig bleibt. Vergleiche hierzu rationale Zahlen.

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