Geschichte der negativen Zahlen

Wir haben gelernt, dass wir natürliche Zahlen nutzen, um Dinge zu zählen und auch Berechnungen durchzuführen. Diese Zahlen sind positiv, also größer als 0. Dann hatten wir gesehen, dass wir negative ganze Zahlen benötigen. Bereits bei einem simplen Beispiel wie 2 - 7 = -5 wird dies deutlich. Negative Zahlen sind also alle Zahlen, die kleiner als 0 sind.

Um eine Zahl als negative Zahl kenntlich zu machen, schreiben wir heutzutage ein Minuszeichen vor diese Zahl. – Dies klingt für die meisten einfach und einleuchtend, doch war es nicht immer so!

Schauen wir uns im Folgenden die Geschichte der negativen Zahlen an, die sich über mehr als 2000 Jahre erstreckt und vielen Mathematikern Kopfschmerzen bereitete.

Anfänge in China (2. Jh. v. Chr.)

Negative Zahlen wurden erstmals in dem chinesischen Mathematikbuch „Neun Kapitel der Rechenkunst“ (Jiǔ Zhāng Suànshù, ca. 2. Jahrhundert vor Christus) erwähnt. In dem Buch wird das chinesische Zahlensystem erklärt, bei dem rote Stäbchen für positive Zahlen und schwarze Stäbchen für negative Zahlen benutzt werden. (Achtung: Heutzutage verwenden wir die rote Farbe für negative Zahlen.)

Die negativen Zahlen gehen auf die Chinesen zurück (ca. 2. Jh. vor Christus). Sie verwendeten farbige Rechenstäbchen, um positive und negative Zahlen voneinander zu unterscheiden.

Die Chinesen verwendeten positive und negative Zahlen im täglichen Leben, insbesondere im Handel und beim Berechnen von Steuern, bei denen das Schwarz das Rot aufhob. Der erhaltene Geldbetrag war positiv (also rot für den Empfang von Geld) und der ausgegebene Geldbetrag war negativ (also schwarz für die Auszahlung).

Abbildung 1 negative zahlen china historisch Stäbchen
Abbildung 1: Chinesisches Zahlensystem mit roten und schwarzen Stäbchen

Andere Kulturen taten sich lange Zeit schwer, negative Zahlen zu akzeptieren. Es wird angenommen, dass die Chinesen die Idee der negativen Zahlen leichter akzeptieren konnten, da die chinesische Philosophie das Prinzip der Dualität (Yin Yang) kennt.

Mehr zum Stäbchen-Zahlensystem (Englisch).

Ablehnung in Griechenland (300 n. Chr.)

Auch wenn die Griechen bekannt dafür sind, große Mathematiker hervorgebracht zu haben (wie Euklid, Archimedes und Pythagoras), so hatten sie die negativen Zahlen als sinnlos angesehen. Dies vor allem aus dem Grund, dass die Geometrie ihre wichtigste Grundlage war und Längen, Flächen sowie Volumen nicht negativ sein können, insbesondere ist ein Messen von Werten kleiner als 0 nicht möglich.

Diese Ablehnung der Griechen ist dokumentiert in dem Buch „Arithmetica“, in dem der griechische Mathematiker Diophantos die lineare Gleichung 4 = 4·x + 20 löst und ein negatives Ergebnis erhält. Er bezeichnete dieses Ergebnis als „absurd“ (also sinnlos bzw. irreführend).

Anerkennung in Indien (620 n. Chr.)

Der indische Mathematiker Brahmagupta (598 - 670) legte als erster grundlegende Regeln fest, wie man mit negativen Zahlen rechnen kann. Außerdem führte er die Null beim Rechnen ein, was ein unglaublich wichtiger Schritt für die Entwicklung der Mathematik war.

Übirgens nannte Brahmagupta die positiven Zahlen „Vermögen“ und die negativen Zahlen „Schulden“.

Europa wacht auf (15. Jh. n. Chr.)

Erst im 15. Jahrhundert kam durch Übersetzungen von alten islamischen und byzantinischen Schriften die Idee der negativen Zahlen nach Europa. Man erkannte schnell, dass sich lineare, quadratische und kubische Gleichungen damit lösen lassen.

Insbesondere stellte das Jahr 1494 einen Wendepunkt dar, in dem der italienische Mathematiker Luca Pacioli (1445 - 1517) das Buch „Summa“ veröffentlichte. Darin zeigte er, wie das Konzept der „doppelten Buchführung“ funktioniert, das auf negativen Zahlen beruhte. Die doppelte Buchführung ist im Übrigen noch heute Grundlage der Buchhaltung von Unternehmen.

Europa gewöhnt sich daran (ab 17. Jh. n. Chr.)

Im 17. Jahrhundert gab der Mathematiker John Wallis (1616 - 1703) den negativen Zahlen eine wichtige Bedeutung, indem er den Zahlenstrahl entwickelte. Er gab den positiven und negativen Zahlen damit jeweils eine Richtung und die 0 galt als Ursprung.

Abbildung 2 zahlenstrahl negative zahlen
Abbildung 2: Zahlenstrahl mit negativen und positiven Zahlen (Laufrichtung nach links oder rechts)

Wenn man zwei Schritte nach rechts geht, ist man 2 Schritte im Positiven (rechts). Geht man nun drei Schritte nach links, dann ist man -1 im Negativen (links).

Auch der deutsche Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) befasste sich mit negativen Zahlen und gab ihnen eine erste Systematik. Jedoch machte es für ihn wenig Sinn, etwas wegzunehmen, was nicht im Inhalt enthalten ist (es gibt nichts weniger als Nichts). Daher verstand er die Wegnahme als Vorgriff auf ein späteres Hinzufügen.

Mitte des 18. Jahrhunderts schrieb der Mathematiker Francis Maseres (1731 - 1824) verbittert: „Negative Zahlen verfinstern die bisherigen Ansichten über Gleichungen und verdunkeln die Dinge, die ihrer Natur nach absolut offensichtlich und einfach waren.“

Jedoch nutzten Mathematiker in Europa zu dieser Zeit für ihre Berechnungen bereits regelmäßig negative Zahlen, ohne sie jedoch wirklich zu verstehen oder ein festes Konzept für sie zu haben.

Im 19. Jahrhundert untersuchten vor allem die Mathematiker De Morgan, Peacock und Hamilton die Gesetzmäßigkeiten der Arithmetik, um eine logische Grundlage für die Zahlentheorie (inklusive der negativen Zahlen) zu schaffen.

Durch diese Arbeiten entstand endlich eine sinnvolle und sichere Definition der negativen Zahlen.

Neuzeit

Heutzutage sind uns negative Zahlen so geläufig, dass wir solch eine lange Geschichte gar nicht vermuten würden.

Negative Zahlen finden sich in vielen mathematischen Modellen in der Physik, Ingenieurwissenschaften, Wirtschaft, Medizin u. a. wieder, und ebenso in unserem Alltag. Hier seien ein paar Beispielbereiche genannt:

  • Bankwesen
  • Aktienmarkt
  • Meteorologie (Temperaturen)
  • Geometrie (Koordinatensystem)
  • Astronomie
  • Geographie (Breiten- und Längengrade)
  • Landvermessungen