Zahlen zerlegen für vorteilhaftes Rechnen

Wenn wir die Grundrechenarten verwenden, also Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, so zerlegen wir mehrstellige Zahlen meist im Kopf und verrechnen ihre zerlegten „Teile“ miteinander.

Schauen wir uns dieses Zerlegen im Folgenden genauer an und untersuchen wir, wie wir vorteilhafter (also einfacher und schneller) rechnen können.

Zahlen zerlegen bei Addition

Bei den zwei Summanden 24 + 12 rechnen wir zuerst die Zehnerstellen, also 20 + 10 als ersten Teil (zu 30), und danach die Einerstellen, also 4 + 2 als zweiten Teil (zu 6). Anschließend fassen wir die Teilergebnisse 30 und 6 zusammen zu 36.

Das passiert bei „automatisch“ beim Kopfrechnen, ohne dass es uns bewusst ist.

Die Zahlen werden also gemäß ihrer Stellen zerlegt (Einerstelle, Zehnerstelle, Hunderterstelle usw.) und dann zusammengerechnet.

Mathematisch korrekt aufgeschrieben wäre dies:

= 24 + 12
= 20 + 4 + 10 + 2
= 20 + 10 + 4 + 2
=   30    +   6
=        36

Dies hatten wir übrigens schon bei der Addition zweistelliger Zahlen kennengelernt.

Nehmen wir uns ein weiteres Beispiel mit 71 + 64 + 2.

= 71 + 64 + 2
= 70 + 1 + 60 + 4 + 2
= 70 + 60 + 1 + 4 + 2
=   130   +   7
=        137

Summanden zerlegen

Wir haben die Möglichkeit, eine Zahl beliebig zu zerlegen. Das heißt, 37 kann in 30 + 7 zerlegt werden, aber auch in 35 + 2 oder in 20 + 17 oder in 28 + 9 usw.

Dieses beliebige Zerlegen kann uns helfen, eine Summe schneller zu berechnen. Dies zeigt das folgende Beispiel:

\( = \textcolor{#00F}{37} + \textcolor{#F00}{28} \\ = \underbrace{ \textcolor{#00F}{37} }_{ \textcolor{#00F}{35 + 2} } + \textcolor{#F00}{28} \\ = 35 + \underbrace{ 2 + \textcolor{#F00}{28} }_{ \textcolor{#0AF}{30} } \\ = 35 + \textcolor{#0AF}{30} \\ = 65 \)

Zahlen zerlegen bei Subtraktion

Nehmen wir uns ein einfaches Beispiel zur Subtraktion mit 75 - 24.

Hierbei ist zu beachten, dass wir die abzuziehende Zahl in zwei abzuziehende Zahlen zerlegen!

= 75 - 24
= 70 + 5 - 20 - 4
= 70 - 20 + 5 - 4
=   50   +   1
=        51

Zahlen zerlegen bei Addition und Subtraktion

Nehmen wir ein weiteres Beispiel mit drei Zahlen: 147 + 33 - 38.

\( = \textcolor{#00F}{147} + \textcolor{#F00}{33} - \textcolor{#0A0}{38} \\ = \textcolor{#00F}{100 + 40 + 7} + \textcolor{#F00}{30 + 3} - \textcolor{#0A0}{38} \\ = \textcolor{#00F}{100} + \underbrace{ \textcolor{#00F}{40} + \textcolor{#F00}{30} }_{ 70 } + \underbrace{ \textcolor{#00F}{7} + \textcolor{#F00}{3} }_{ 10 } - \textcolor{#0A0}{38} \\ = \underbrace{ 100 + 70 + 10 }_{ 180 } - \textcolor{#0A0}{38} \\ = 180 - \textcolor{#0A0}{38} \)

Jetzt gilt es noch, die Subtraktion zu berechnen. Hierzu zerlegen wir die 180 vorteilhaft, um dann die 38 einfach abziehen zu können:

\( = \underbrace{ 180 }_{ 100 + 80} \quad \underbrace{ \textcolor{#0A0}{- 38} }_{ \textcolor{#0A0}{ - 30 - 8 } } \\ = 100 + 80 \textcolor{#0A0}{- 30 - 8} \\ = 100 + \underbrace{ 80 \textcolor{#0A0}{- 30} }_{ 50 } \textcolor{#0A0}{- 8} \\ = 100 + \underbrace{ 50 \textcolor{#0A0}{- 8} } _ { 42 } \\ = 142 \)

Die gezeigten Schritte sind ausführlich, damit die Berechnung, die bei den meisten sehr schnell im Kopf stattfindet, nachvollziehbar wird.

Unsere Aufgabe 147 + 33 - 38 hätten wir übrigens auch etwas schneller rechnen können, und zwar auf diese Weise:

\( = 147 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{33} }_{ \textcolor{#00F}{ 30 + 3 } } \quad \underbrace{ \textcolor{#0A0}{- 38} }_{ \textcolor{#0A0}{ -30 - 8 } } \\ = 147 + \textcolor{#00F}{ 30 } + \textcolor{#00F}{ 3 } \textcolor{#0A0}{ - 30 } \textcolor{#0A0}{ - 8 } \\ = 147 + \textcolor{#00F}{ 30 } \textcolor{#0A0}{ - 30 } + \textcolor{#00F}{ 3 } \textcolor{#0A0}{ - 8 } \\ = 147 + \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 30 } \textcolor{#0A0}{ - 30 } }_{ 0 } + \underbrace{ \textcolor{#00F}{ 3 } \textcolor{#0A0}{ - 8 } }_{ - 5} \\ = 147 + 0 - 5 \\ = 147 - 5 \\ = 142 \)

Zahlen zerlegen bei Multiplikation

Nehmen wir uns ein einfaches Beispiel zur Multiplikation mit 15 · 8.

Hier multiplizieren wir die Zehnerstelle mit der 8 und die Einerstelle mit der 8. Die 15 wird also zerlegt in 10 + 5.

Mathematisch richtig aufgeschrieben ist dies:

= 15 · 8
= (10 + 5) · 8
= 10·8 + 5·8
=  80  + 40
=     120

Oder in einer Zeile: 15 · 8 = 10·8 + 5·8 = 80 + 40 = 120

Hier steckt übrigens das sogenannte Distributivgesetz dahinter.

Zahlen zerlegen bei Division

Nehmen wir uns ein einfaches Beispiel zur Division mit 35 : 5.

Hier dividieren die Zehnerstelle durch die 5 und die Einerstelle durch die 5. Die 35 wird also zerlegt in 30 + 5.

Mathematisch richtig aufgeschrieben ist dies:

= 35 : 5
= (30 + 5) : 5
= 30:5 + 5:5
=  6  + 1
=     7

Oder in einer Zeile: 35 : 5 = 30:5 + 5:5 = 6 + 1 = 7

Wie auch bei der Multiplikation steckt hier das Distributivgesetz dahinter.