AB: Lektion Potenzfunktionen (Teil 1)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Untersuche die folgenden Potenzfunktionen: Ermittle Definitionsmenge und Wertebereich. Untersuche auf Symmetrie und Monotonieverhalten. Berechne zu den gegebenen y-Werten den dazugehörigen x-Wert. Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Fertige eine Skizze mit den jeweiligen Funktionsgraphen an.

Hinweis: Die Skizzen kann man zeichnen, indem man ein paar Werte für x in die Funktion einsetzt und den dazugehörigen y-Wert berechnet. Die allgemeine Form der Graphen sollte man kennen und aus den errechneten Punkten den Graph skizzieren können.

a)

f(x) = 3·x3 und y = 81 und A(6|29) und B(1|3)

Definitionsmenge : D = R

Wertebereich : W = R

Symmetrie : Der Exponent des Graphen ist ungerade. Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Nullpunkt.

Monotonie : Der Graph ist durchgehend streng monoton steigend.

x-Wert berechnen zu: y= 81

81 = 3·x3 | :3

27 = x3

Wir ziehen die dritte Wurzel auf beiden Seiten und erhalten:
x = 3.

Punktprobe : Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt.

A(6|29):

f(x) = 3·x3
f(6) = 3·63 = 3·216 = 648

Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.


B(1|3) :

f(x) = 3·x3
f(1) = 3·13 = 3

Der Punkt B liegt auf dem Graphen.

Skizze:

Graph A1

b)

f(x) = 5·x-1 und y = \( \frac{1}{4} \) und A(1|1) und B(2,5|2)

Definitionsmenge: D = R\{0}

Wertebereich: W = R\ {0}

Symmetrie: Der Exponent des Graphen ist ungerade. Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Nullpunkt.

Monotonie: Der Graph ist durchgehend streng monoton fallend.

x-Wert berechnen zu: y = \( \frac{1}{4} \)

\( \frac{1}{4} \) = 5·x-1   | :5

\( \frac{1}{20} \) = x-1

\( \frac{1}{20} \) = \( \frac{1}{x^1} \)   | Kehrwert

x = 20

Punktprobe: Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt:

A(1|1)

5·1-1 = 1·1 = 5

Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.

B(2,5|2)

5·2,5-1 = 5· = 2

Der Punkt B liegt auf dem Graphen.

Skizze:

Graph A2

c)

f(x) = 2·x4 und y = 512 und A(2,9|3,4) und B(2|1)

Definitionsmenge : D = R

Wertebereich : W = R+

Symmetrie : Der Exponent des Graphen ist gerade. Der Graph ist also symmetrisch zur y-Achse.

Monotonie : Der Graph ist für x<0 streng monoton fallend und für x>0 streng monoton steigend.

x-Wert berechnen zu : y = 512

512 = 2·x4 |:2

526 = x4 |4. Wurzel ziehen bzw. Wurzel aus der Wurzel

16 = x2

x = 4

Punktprobe : Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt:

A(2,9|3,4)

2·2,94 > 3,4

Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.

B(2|1)

2·24 = 2·16 = 32

Der Punkt B liegt auch auf nicht dem Graphen.

Skizze:

Graph A3

d)

f(x) = x-2 und y = \( \frac{1}{64} \) und A(\( \frac{1}{12} \)|24) und B(5|\( \frac{1}{25} \))

Definitionsmenge : D = R\{0}

Wertebereich : W = R+

Symmetrie : Der Exponent des Graphen ist gerade. Der Graph ist also symmetrisch zur y-Achse.

Monotonie : Der Graph ist für x<0 streng monoton steigend und für x>0 streng monoton fallend.

x-Wert berechnen zu: y = \( \frac{1}{64} \)

\( \frac{1}{64} \) = x-2

\( \frac{1}{64} \) = \( \frac{1}{x^2} \)   | Kehrwert

64 = x2 | Wurzel ziehen

x = 8

Punktprobe : Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt:

A(\( \frac{1}{12} \)|24)

(\( \frac{1}{12} \))-2 = (\( \frac{12}{1} \))2 = 144

Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.

B(5|\( \frac{1}{25} \)):

5-2 = (\( \frac{1}{5} \))2 = \( \frac{1}{25} \)

Der Punkt B liegt auf dem Graphen.

Skizze:

Graph A4

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