AB: Lektion Potenzfunktionen (Teil 1)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Untersuche die folgenden Potenzfunktionen: Ermittle Definitionsmenge und Wertebereich. Untersuche auf Symmetrie und Monotonieverhalten. Berechne zu den gegebenen y-Werten den dazugehörigen x-Wert. Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Fertige eine Skizze mit den jeweiligen Funktionsgraphen an.
Hinweis: Die Skizzen kann man zeichnen, indem man ein paar Werte für x in die Funktion einsetzt und den dazugehörigen y-Wert berechnet. Die allgemeine Form der Graphen sollte man kennen und aus den errechneten Punkten den Graphen skizzieren können.
f(x) = 3·x3 und y = 81 und A(6|29) und B(1|3)
Definitionsmenge : D = R
Wertebereich : W = R
Symmetrie : Der Exponent des Graphen ist ungerade. Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Nullpunkt.
Monotonie : Der Graph ist durchgehend streng monoton steigend.
x-Wert berechnen zu: y= 81
81 = 3·x3 | :3
27 = x3
Wir ziehen die dritte Wurzel auf beiden Seiten und erhalten:
x = 3.
Punktprobe : Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt.
A(6|29):
f(x) = 3·x3
f(6) = 3·63 = 3·216 = 648
Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.
B(1|3) :
f(x) = 3·x3
f(1) = 3·13 = 3
Der Punkt B liegt auf dem Graphen.
Skizze:
f(x) = 5·x-1 und y = \( \frac{1}{4} \) und A(1|1) und B(2,5|2)
Definitionsmenge: D = R\{0}
Wertebereich: W = R\ {0}
Symmetrie: Der Exponent des Graphen ist ungerade. Der Graph ist also punktsymmetrisch zum Nullpunkt.
Monotonie: Der Graph ist durchgehend streng monoton fallend.
x-Wert berechnen zu: y = \( \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{4} \) = 5·x-1 | :5
\( \frac{1}{20} \) = x-1
\( \frac{1}{20} \) = \( \frac{1}{x^1} \) | Kehrwert
x = 20
Punktprobe: Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt:
A(1|1)
5·1-1 = 1·1 = 5
Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.
B(2,5|2)
5·2,5-1 = 5· = 2
Der Punkt B liegt auf dem Graphen.
Skizze:
f(x) = 2·x4 und y = 512 und A(2,9|3,4) und B(2|1)
Definitionsmenge : D = R
Wertebereich : W = R+
Symmetrie : Der Exponent des Graphen ist gerade. Der Graph ist also symmetrisch zur y-Achse.
Monotonie : Der Graph ist für x<0 streng monoton fallend und für x>0 streng monoton steigend.
x-Wert berechnen zu : y = 512
512 = 2·x4 |:2
526 = x4 |4. Wurzel ziehen bzw. Wurzel aus der Wurzel
16 = x2
x = 4
Punktprobe : Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt:
A(2,9|3,4)
2·2,94 > 3,4
Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.
B(2|1)
2·24 = 2·16 = 32
Der Punkt B liegt auch auf nicht dem Graphen.
Skizze:
f(x) = x-2 und y = \( \frac{1}{64} \) und A(\( \frac{1}{12} \)|24) und B(5|\( \frac{1}{25} \))
Definitionsmenge : D = R\{0}
Wertebereich : W = R+
Symmetrie : Der Exponent des Graphen ist gerade. Der Graph ist also symmetrisch zur y-Achse.
Monotonie : Der Graph ist für x<0 streng monoton steigend und für x>0 streng monoton fallend.
x-Wert berechnen zu: y = \( \frac{1}{64} \)
\( \frac{1}{64} \) = x-2
\( \frac{1}{64} \) = \( \frac{1}{x^2} \) | Kehrwert
64 = x2 | Wurzel ziehen
x = 8
Punktprobe : Wir möchten wissen, ob die gegebenen Punkte auf dem Graphen liegen. Wir setzen den x-Wert in die Funktion ein und schauen, ob der berechnete y-Wert mit dem gegebenen Wert übereinstimmt:
A(\( \frac{1}{12} \)|24)
(\( \frac{1}{12} \))-2 = (\( \frac{12}{1} \))2 = 144
Der Punkt A liegt also nicht auf dem Graphen.
B(5|\( \frac{1}{25} \)):
5-2 = (\( \frac{1}{5} \))2 = \( \frac{1}{25} \)
Der Punkt B liegt auf dem Graphen.
Skizze:
