AB: Lektion Zinseszins (Teil 5)

Notiere für die folgenden Aufgaben deinen vollständigen Lösungsweg, damit du beim Vergleich mit den Lösungen die Fehlerquellen besser entdeckst. Du darfst den Taschenrechner zur Berechnung benutzen.

1.

Um die folgenden Aufgaben rechnen zu können, musst du die Lektion Wurzeln gesehen haben, dann verstehst du folgende Rechenschritte:

\( (1+p)^5 = 100 \quad | \sqrt[5]{\quad} \\ \sqrt[5]{(1+p)^5} = \sqrt[5]{100} \\ 1 + p \approx 2,51189 \quad | -1 \\ p \approx 1,51189 \)

Wenn du dies also beherrschst, kannst du die Aufgaben lösen:

a)

Deine Großeltern möchten 2.000 Euro für dich anlegen. Sie möchten, dass sich die Summe nach 5 Jahre verdoppelt hat. Welchen Zinssatz benötigen Sie hierfür?

Großeltern Geldanlage K0 = 2.000 Euro, Summe nach 5 Jahre verdoppelt. Gesucht: Zinssatz

Kn = K0 · (1 + p)n

K5 = K0 · (1 + p)5

K5 = K0 · (1 + p)5

// doppeltes Startkapital

K5 = 2·K0 = 2.000 € = 4.000 €

// Werte für K0 und K5 einsetzen

K5 = K0 · (1 + p)5   | K0 = 2.000 €   | K5 = 4.000 €

4.000 € = 2.000 € · (1 + p)5

4.000 € = 2.000 € · (1 + p)5   | : 2.000 €

4.000 € : 2.000 € = (1 + p)5

2 = (1 + p)5   | \( \sqrt[5]{} \)

$$ \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{(1 + p)^5} $$

1,148698 = (1 + p)   | - 1

p = 1,148698 - 1

p = 0,148698

p ≈ 14,87 %

Antwort: Das Kapital verdoppelt sich nach 5 Jahren, wenn der Zinssatz 14,87 % beträgt.

b)

Berechne: Welcher Zinssatz ist notwendig, damit sich ein Kapital nach 10 Jahren verdoppelt?

Kapital soll sich nach 10 Jahren verdoppeln, gesucht Zinssatz

Kn = K0 · (1 + p)n

K10 = K0 · (1 + p)10 K10 = 2·K 0

// wir haben zwei Aussagen für K10 und können das K10 = 2·K0 in der linken Gleichung einsetzen

K10 = K0 · (1 + p)10   | K10 = 2·K0

2·K0 = K0 · (1 + p)10

// und jetzt weiter umstellen

2·K0 = K0 · (1 + p)10   | :K0

2·K0 : K0 = K0 · (1 + p)10 : K 0

2 = (1 + p)10

2 = (1 + p)10   | \( \sqrt[10]{} \)

$$ \sqrt[10]{2} = \sqrt[10]{(1 + p)^{10}} $$

\( \sqrt[10]{2} \) = (1 + p)

\( \sqrt[10]{2} \) = 1 + p

1,07177346 = 1 + p   | -1

p = 0,07177346

p ≈ 7,18 %

Antwort: Wenn sich das Kapital nach 10 Jahre verdoppeln soll, so muss es mit einem Zinssatz von 7,18 % angelegt werden.

c)

Um sein Kapital von 800 Euro auf 1.000 Euro zu vermehren, möchte Wille die Zinssätze berechnen, für die das möglich ist bei folgenden Laufzeiten:
a) Laufzeit 2 Jahre
b) Laufzeit 4 Jahre
c) Laufzeit 6 Jahre

Kapital K0 = 800 Euro auf Kn = 1.000 Euro vermehren, gesucht Zinssatz

1) Laufzeit n = 2 Jahre

Kn = K0 · (1 + p)n

1.000 € = 800 € · (1 + p)2   | : 800€

1.000 € : 800 € = (1 + p)2

1,25 = (1 + p)2   | \( \sqrt[2]{} \)

\( \sqrt[2]{1,25} = \sqrt[2]{(1 + p)^2} \)

\( \sqrt[2]{1,25} = 1 + p \)   | -1

p = \( \sqrt[2]{1,25} – 1 \)

p = 0,1180339887

p ≈ 11,8 %

2) Laufzeit n = 4 Jahre

Kn = K0 · (1 + p)n

1.000 € = 800 € · (1 + p)4   | : 800€

1.000 € : 800 € = (1 + p)4

1,25 = (1 + p)4   | \( \sqrt[4]{} \)

\( \sqrt[4]{1,25} = \sqrt[4]{(1 + p)^4} \)

\( \sqrt[4]{1,25} = 1 + p \)   | -1

p = \( \sqrt[4]{1,25} – 1 \)

p = 0,05737126344056412

p ≈ 5,74 %

3) Laufzeit n = 6 Jahre

Kn = K0 · (1 + p)n

1.000 € = 800 € · (1 + p)6   | : 800€

1.000 € : 800 € = (1 + p)6

1,25 = (1 + p)6   | \( \sqrt[6]{} \)

\( \sqrt[6]{1,25} = \sqrt[6]{(1 + p)^6} \)

\( \sqrt[6]{1,25} = 1 + p \)   | -1

p = \( \sqrt[6]{1,25} – 1 \)

p = 0,03789081555621344

p ≈ 3,79 %

d)

Utes Geld auf dem Sparkonto ist auf 18.600 Euro angewachsen. Es liegt seit 8 Jahren unangetastet auf dem Konto. Der Zinssatz war konstant bei 4 %. Wie groß war ihr Startkapital?

Utes Geldanlage nach n = 8 Jahren K8 = 18.600 Euro, Zinssatz p = 4 %, gesucht Startkapital K0

Kn = K0 · (1 + p)n

K8 = K0 · (1 + 4%)8   | K8 = 18.600 €

18.600 € = K0 · (1 + 4%)8

18.600 € = K0 · (1,04)8   | : (1,04)8

K0 = 18.600 € : (1,04)8

K0 = 13.590,84 €

Antwort: Ihr Startkapital vor 8 Jahren betrug 13.590,84 Euro.

e)

Inge soll nach 3 Jahren 1.500 € an Paul zurückzahlen. Sie hatten einen Zinssatz von 3,5 % vereinbart. Wie viel Geld hatte Paul überlassen?

Inge soll nach n = 3 Jahren K3 = 1.500 € an Paul zahlen, Zinssatz p = 3,5 %, gesucht K0

Kn = K0 · (1 + p)n

K3 = K0 · (1 + 3,5%)3   | K3 = 1.500 €

1.500 € = K0 · (1 + 3,5%)3

1.500 € = K0 · (1,035)3   | : (1,035)3

K0 = 1.500 € : (1,035)3

K0 = 1.352,91 €

Antwort: Paul hatte Inge einen Geldbetrag in Höhe von 1.352,91 Euro überlassen.

f)

Deine Eltern haben für dich etwas Geld gespart, nach 5 Jahren Anlage ist ein Kapital von 4.900,90 Euro entstanden. Der Zinssatz war konstant bei 5,5 %. Wie viel Geld hatten deine Eltern zu Beginn der Laufzeit angelegt?

Eltern sparten Geld n = 5 Jahre, K5 = 4.900,90 Euro, Zinssatz p = 5,5 %, gesucht Startkapital K0

Kn = K0 · (1 + p)n

K5 = K0 · (1 + 5,5%)5   | K5 = 4.900,90 €

4.900,90 € = K0 · (1 + 5,5%)5

4.900,90 € = K0 · (1,055)5   | : (1,055)5

K0 = 4.900,90 € : (1,055)5

K0 = 3.749,85 €

Antwort: Deine Eltern hatten vor 5 Jahren 3.749,85 Euro für Dich angelegt.

g)

Wir haben einen hohen Kredit für 3 Jahre aufgenommen, Zinssatz 7 % p.a. Anschließend müssen wir 99.999 Euro zurückzahlen. Wie hoch war der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag?

Kredit für n = 3 Jahre, Zinssatz p = 7 %, Rückzahlung K3 = 99.999 Euro, gesucht K0

Kn = K0 · (1 + p)n

K3 = K0 · (1 + 7%)3   | K3 = 99.999 €

99.999 € = K0 · (1 + 7%)3

99.999 € = K0 · (1,07)3   | : (1,07)3

K0 = 99.999 € : (1,07)3

K0 = 81.628,97 €

Antwort: Der ursprünglich aufgenommene Kreditbetrag betrug 81.628,97 Euro.

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