CHECK: Binomische Formeln III

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1. Ergänze die fehlende Zahl in der Gleichung (a + __)² = a² + 6·a + 9

(a + 3)2
= a2 + 2·3·a + 32
= a2 + 6·a + 9

2. Löse (x - 3)² so weit wie möglich auf.

Wir benutzen die 2. binomische Formel und erhalten als Ergebnis:
(x - 3)² = x² - 6·x + 9

3. Schreibe x² + 10x + 25 als binomische Formel.

Wir erkennen die Struktur der ersten binomischen Formel mit a² + 2ab + b² = (a + b)². Daraus folgt:

x² +  10·x + 25
a² + 2·a·b + b²

a² = x² → a = x
und
b² = 25 → b = 5

Also: x² + 10x + 25 = (x + 5)²

4. Schreibe x² - 16x + 64 als binomische Formel.

Wir erkennen die Struktur der zweiten binomischen Formel mit a² - 2ab + b² = (a - b)². Daraus folgt:

x² -  16·x + 64
a² - 2·a·b + b²

a² = x² → a = x
und
b² = 64 → b = 8

Also: x² - 16x + 64 = (x - 8)²

Wir können auch die Probe machen für 2·a·b und setzen ein: 2·a·b = 2·x·8 = 16·x. Die Lösung stimmt.

5. Schreibe 9·x² - 81·y² als binomische Formel.

Hier erkennen wir die dritte binomischen Formel: (a + b)·(a - b) = a² - b²

Bei 9·x² - 81·y² sehen wir, dass 9·x² dem ersten Term (allgemein ) entspricht, damit:

9·x² = 3²·x² = 3·x · 3·x → a = 3x

81·y² entspricht dem zweiten Term (allgemein ), damit:

81·y² = 9²·y² = 9·y · 9·y → b = 9y

Daraus ergibt sich: 9·x² - 81·y² = (3x + 9y)·(3x - 9y)

6. Berechne das Ergebnis von (100 - 5)·(100 + 5) ohne Taschenrechner. Nutze die dritte binomische Formel.

100² - 5² = 10000 - 25 = 9975

7. Berechne des Ergebnis von (10 + 9)², indem du eine binomische Formel anwendest.

Mit der ersten binomischen Formel erhalten wir:
= 10² + 2·10·9 + 9²
= 100 + 180 + 81
= 361

8. Hinter dem Term 2x² - 32x + 128 versteckt sich eine binomische Formel. Wie lautet diese?

Zuerst die 2 ausklammern: 2x² - 32x + 128 = 2·(x² - 16x + 64).

Nun erkennen wir die zweite binomische Formel und können umformen:

= x² - 16x + 64
= (x·x) - 2·8·x + (8·8)
= (x - 8)²

Dazu muss wieder die multipliziert werden. Es ergibt sich:

= 2·(x - 8)²


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