Lerncheck: Lineare Gleichungssysteme II

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1. Welche Aussage zu den Linearen Gleichungssystemen ist falsch?

Bei Äquivalenzumformungen addiert oder subtrahiert man einen Wert auf beiden Seiten einer Gleichung oder man multipliziert oder dividiert beide Seiten einer Gleichung mit einem Wert. Vergleiche: Gleichungen umformen (Äquivalenzumformungen).

2. Um welches Verfahren zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen handelt es sich?

1. Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf (falls nicht schon vorliegend).
2. Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.
3. Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variable auf.
4. Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable.

Es handelt sich um das Einsetzungsverfahren.

3. Bestimme die Lösungsmenge des nachfolgenden Linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Additionsverfahrens.

$$ (1) \space 3x+4y=8$$

$$ (2) \space 5x-3y = \frac 54$$

Nutze den LGS Löser Pro, der die Berechnung sowie die Lösung anzeigt mit x = 1 und y = 1,25 = \( \frac{5}{4} \)

4. Addiert man zu einer Zahl 9, dann erhält man das Dreifache der zweiten Zahl.

Löse die nachfolgende Textaufgabe mit Hilfe einer passenden Lösungsmethoden für Lineare Gleichungssysteme.

Addiert man zu einer Zahl 9, dann erhält man das Dreifache der zweiten Zahl. Addiert man zur zweiten Zahl 6, so erhält man das Vierfache der ersten Zahl. Welchen Zahlen sind das?

Erste Zahl sei x und zweite Zahl sei y

Addiert man zu x die Zahl 9, dann bekommt man das Dreifache von y:

$$⇒ (1) \space x+9=3y$$

Addiert man zu y die Zahl 6, dann bekommt man das Vierfache von x:

$$⇒(2) \space y+6=4x$$

Lösung des Linearen Gleichungssystems beispielsweise mit Hilfe des Einsetzverfahrens. Dazu stellen wir die 1. Gleichung nach x um:

$$⇒ (1*) \space x=3y-9$$

Und setzen dies in die 2. Gleichung ein:

$$⇒ y+6=4 \cdot(3y-9) ⇔y+6=12y-36 ⇔11y=42 ⇒y= \frac {42} {11}$$

Dies setzen wir in die Gleichung (1*) ein:

$$⇒ x=3 \cdot\frac {42} {11}-9=\frac {126} {11} - 9 = \frac {126-99} {11} = \frac {27} {11}$$

Die gesuchten Zahlen sind:

$$\frac {27} {11} \space und \space \frac {42} {11}$$

Hinweis: Ergebnisse können durch die Probe bestätigt werden.

5. Wie kann man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten neben den analytischen Methoden noch lösen?

Beide Gleichung nach jeweils einer Variablen in Abhängigkeit der zweiten Variablen auflösen.

Die so entstandenen Gleichungen im kartesischen Koordinatensystem einzeichnen.

Schneiden die beiden Geraden beispielsweise sich, liegt eine Lösung vor, nämlich die Koordinaten des Schnittpunktes.

6. Wie alt sind Opa und Enkelin?

Der Opa und die Enkelin sind zusammen 78 Jahre alt. Vor 4 Jahren war der Opa sechsmal so alt wie seine Enkelin. Wie alt sind Opa und Enkelin heute?

Das heutige Alter des Opas sei o.

Das heutige Alter der Enkelin sei e.

Es gilt laut Aufgabentext:

$$ (1) \space o + e = 78$$

Vor 4 Jahren (heutiges Alter minus 4) galt: $$(2) \space o-4 = 6 \cdot (e-4)$$

Aus (1) folgt beispielsweise:

$$ (1*) \space e = 78-o$$

Dies setzen wir in Gl. (2) ein:

$$ o-4 = 6 \cdot (78-o-4) \\ o-4 = 6 \cdot (74-o) \\ o-4 = 444-6 \cdot o \\ 7 \cdot o = 448 \\ o = 64 $$

Aus (1·) folgt:

$$ e = 78 - 64= 14$$

Der Opa ist 64 und die Enkelin ist 14 Jahre alt.


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