Lerncheck: Tangens

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1. Wie ist der Tangens am Dreieck allgemein definiert?

Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete: \( \tan(α) = \frac{GK}{AK} \)

2. Wie ist der Tangens am folgenden Dreieck definiert?

Der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Winkel β hat Seite b als Gegenkathete und Seite a als Ankathete, demnach: \( \tan(β) = \frac{a}{b} \)

3. Wie lautet der Tangens von 45°?

Tipp: Bei 45° sind Gegenkathete und Ankathete gleich lang.

\( \tan(45°) = \frac{GK}{AK} = \frac{1}{1} = 1 \\ \tan(45°) = 1 \)

4. Eine Wand ist 2 m hoch. Eine Leiter wird im Winkel von 35° an die Wand angelehnt. Welchen Abstand hat die Leiter (Fuß) von der Wand?

Zuerst nehmen wir uns die Definition vom Tangens: \( \tan(α) = \frac{GK}{AK} \)

Dann wissen wir: Die Gegenkathete ist die Wand, die Ankathete der Abstand vom Boden. Winkel α ist uns gegeben.

\( \tan(α) = \frac{\text{Wand}}{\text{Boden}} \\ \tan(35°) = \frac{2 \text{ m}}{x} \)

Umstellen nach x ergibt:

\( \tan(35°) = \frac{2 \text{ m}}{x} \quad | ·x \\ x·\tan(35°) = 2 \text{ m} \quad | : \tan(35°) \\ x = \frac{2 \text{ m}}{ \tan(35°) } \\ x ≈ 2,86 \text{ m} \)

Der Abstand der Leiter von der Wand beträgt ca. 2,86 m.

5. Wie lautet der Tangens von 90°?

Der Tangens von 90° ist nicht definiert, da die Ankathete bei 0° die Länge 0 hat. Damit ergibt sich eine Division durch Null: \( \tan(90°) = \frac{GK}{AK} = \frac{GK}{0} \)

6. Kann der Tangens mit Sinus und Kosinus ausgedrückt werden?

Ja, der Tangens kann mit \( \tan(α) = \frac{ \sin(α) }{ \cos(α) } \) ausgedrückt werden.

Siehe Artikel: Tangens als Verhältnis von Sinus / Kosinus

7. Wie lautet der Tangens von 0°?

Der Tangens bei 0° ist 0, da die Gegenkathete 0 lang ist und die Ankathete 1, damit also: \( \tan(0°) = \frac{GK}{AK} = \frac{0}{1} = 0 \)

8. Eine Wand ist 2,40 m hoch. Eine Leiter wird im Abstand von 0,80 m an die Wand angelehnt. In welchem Winkel steht die Leiter zum Boden.

Zuerst nehmen wir uns die Definition vom Tangens: \( \tan(α) = \frac{GK}{AK} \)

Dann wissen wir: Die Gegenkathete ist die Wand, die Ankathete der Abstand vom Boden. Winkel α ist unbekannt.

\( \tan(α) = \frac{\text{Wand}}{\text{Boden}} \\ \tan(α) = \frac{2,40 \text{ m}}{0,80 \text{ m}} \)

Wir rechnen den Bruch aus und verwenden den Arkustangens, um den Winkel zu bestimmen:

\( \tan(α) = \frac{2,40 \text{ m}}{0,80 \text{ m}} \\ \tan(α) = 3 \quad | \text{ Arkustangens} \\ \tan^{-1}( \tan(α) ) = \tan^{-1}(3) \\ α ≈ 71,6° \)

Die Leiter steht mit ca. 71,6° zum Boden.


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