Tangens als Verhältnis von Sinus / Kosinus

Schauen wir uns die Definition des Tangens an und schreiben Sinus und Kosinus dazu:

\( \sin(β) = \frac{\text{GK}}{\text{HY}} \)

Umgestellt nach GK ergibt:

\( \text{GK} = \sin(β) · \text{HY} \)

Sowie:

\( \cos(β) = \frac{\text{AK}}{\text{HY}} \)

Umgestellt nach AK ergibt:

\( \text{AK} = \cos(β) · \text{HY} \)

Wir setzen diese beiden Formeln in die Tangensformel für GK und AK ein:

\( \tan(β) = \frac{GK}{AK} \qquad | \text{ GK} = \sin(β) · HY \)

\( \tan(β) = \frac{ \sin(β) · HY }{AK} \qquad | \text{ AK} = \cos(β) · HY \)

\( \tan(β) = \frac{ \sin(β) · HY }{ \cos(β) · HY } \)

Offensichtlich können wir HY aus Zähler und Nenner des Bruches herauskürzen und es ergibt sich:

\( \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \)

Dies ist eine weitere Definition des Tangens:

Der Tangens des Winkels ergibt sich aus dem Verhältnis von Sinus des Winkels zu Kosinus des Winkels.

\( \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \)