Test: Quadratische Funktionen

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1. Welche der Abbildungen entspricht der Funktion f(x) = (x+2)^2?

f(x) = (x+2)^2

Hier erkennt man an der +2 in der Klammer, dass der Scheitelpunkt der Parabel 2 nach links verschoben wird zur -2. Bzw. setzt ihr x = -2 in die Funktionsgleichung, so ergibt sich: f(-2) = (-2+2)^2 = 0^2 = 0, also der Punkt Sx(-2 | 0).

Zusätzlich sieht man an der Grafik, dass ein Achsenschnittpunkt Sy(0 | 4) ist. Damit muss, wenn man x = 0 einsetzt, also f(0) = 4 sein. Dies ist bei f(x) = (x+2)^2 der Fall mit f(0) = (0+2)^2 = 2^2 = 4

Vgl. Lektion Quadratische Funktionen / Parabeln.

2. Wie viele Nullstellen hat die Funktion f(x) = x^2 + 1? x ∈ ℝ.

Siehe Graph:

https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/?x^2+1

3. Wie lautet die Allgemeinform der Scheitelpunktform f(x) = 3·(x+2)^2?

Gleichung mit Binomischer Formel ausrechnen:

f(x) = 3·(x+2)^2

f(x) = 3·(x^2+2·x·2 + 2^2)

f(x) = 3·x^2+3·2·x·2 + 3·2^2

f(x) = 3·x^2+12·x + 3·4

f(x) = 3·x^2+12·x + 12

4. Der Turmspringer und der Sprungturm

Die Flugbahn eines Turmspringers kann man mit h(l) = -10 l² + n beschreiben, wobei h die Höhe, l der horizontale Abstand zum Sprungturm und n die Höhe des Sprungturmes beschreiben. Der Springer kommt nun 0,5 m vom Turm entfernt auf dem Boden auf. Bestimme die Höhe des Turms.

Lösung

Beim Aufprall gilt: g(l) = 0.

Außerdem lässt sich sagen, dass l = 0,5 m ist.

Somit ergibt sich: 0 = -10 * 0,52 + n <=> 10 * 0,52 = n <=> 10 * 1/4 = 10/4 = 5/2 = 2,5 = n.

Funktionsgraph hier: g(l) = -10 l2 + 2,5

5. Was ist der Unterschied zwischen Quadratischer Gleichung und Quadratischer Funktion?

Für Details siehe hier.

6. Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion f(x) = 1/2x^2+x+2

Tipp: Scheitelpunktform

f(x)= 1/2x2+x+2

= 1/2(x2+2x+4)

= 1/2(x2+2x+1-1+4)

= 1/2((x+1)2 -1+4)

= 1/2((x+1)2 +3)

= 1/2(x+1)2 + 3/2


→ S(-1|3/2)

7. Bestimme den Scheitelpunkt zur Funktion f(x) = 2x^2-12x+18

f(x)= 2x2-12x+18

= 2(x2-6x) +18

= 2(x2-6x+9-9) +18

= 2(x-3)2-18+18

= 2(x-3)2

→ S(3|0)

8. Liegen die Punkte A(0/-4) undB(-4/40) auf der Funktion f(x) = (x - 2,5)² - 2,25?

Setze den x-Wert ein und schaue ob der y-Wert rauskommt.

A: f(0) = 4 ≠ -4

B: f(-4) = 40 \(\checkmark\)

9. Überführe f(x) = -2x^2-4x+1 in die Scheitelpunktform und bestimme den Scheitelpunkt

f(x) = -2x2 - 4x + 1

f(x) = -2 * (x2 + 2x) + 1

f(x) = -2 * (x2 + 2x + 1 - 1) + 1

f(x) = -2 * (x + 1)2 + 3

S(-1|3)

10. Gib den Scheitelpunkt an: f(x) = x^2-10x+15

Mittels Scheitelpunktform:

f(x) = x2-10x+15

= x2 - 2*5*x +15

mit -> a = x, b = 5 -> b2 = 25

= x2 - 10x + 25 -25 +15

= (x-5)2 - 25+15

= (x-5)2 - 10

Der Scheitelpunkt ist nach y = a(x-d)2+e mit S(d|e)

-> S(+5|-10)

11. Warum hat jede quadratische Funktion genau eine Extremstelle?

Es ist allgemein:

f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a

Folglich ist die erste Ableitung linear. Eine lineare Funktion hat immer eine Nullstelle, weswegen man immer genau eine Extremstelle erhält.

12. Eine quadratische Funktion ist ein Polynom welchen Grades?

f(x) = ax2 + bx + c

13. Was bewirkt der Parameter c in f(x) = ax^2 + bx + c?

c ist auch als "Absolutglied" bekannt, welches den y-Achsenabschnitt angibt

14. Wie wird der Zustand genannt, wenn für den Parameter a in f(x) = ax^2 + bx + c nun |a| < 1 gilt?

15. Was ist das besondere eines Scheitelpunktes?

Anmerkung: Bezogen auf quadratische Funktionen
Der Scheitelpunkt entspricht dem Extremum der Parabel (Tiefpunkt oder Hochpunkt). Also dem Ort mit dem niedrigsten oder höchsten y-Wert

16. Wie viele Achsenschnittpunkte kann eine quadratische Funktion maximal haben?

Vorsicht: Es sind Achsenschnittpunkte gefragt

Zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Einen Schnittpunkt mit der y-Achse

17. Wie viele Achsenschnittpunkte hat eine quadratische Funktion mindestens?

Vorsicht: Es sind Achsenschnittpunkte gefragt

Da f(0) immer existiert, haben wir immer einen Schnittpunkt mit der y-Achse. Schnittpunkte mit der x-Achse müssen aber nicht vorliegen. Also einen Schnittpunkt.

18. Wie nennt man eine Gerade, die eine Parabel weder schneidet noch berührt?

19. Wie nennt man eine Gerade, die eine Parabel in nur einem Punkt berührt?

-

20. Wie nennt man eine Gerade, die eine Parabel an zwei Orten schneidet?


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