1. Binomische Formel

Erste Binomische Formel

Wir erklären die 1. Binomische Formel anhand eines Beispiels:

Nehmen wir uns die Gleichung 3·3 = 3² . Schreiben wir anstatt von 3 einfach (2 + 1) so erhalten wir:

3·3 = (2 + 1)·(2 + 1) = (2 + 1)²

Diese Multiplikation wollen wir nun berechnen. Wir wissen, dass wir jeden Wert aus der ersten Klammer mit jedem Wert aus der zweiten Klammern multiplizieren müssen. Das machen wir jetzt einmal:

(2 + 1)·(2 + 1) = 2· (2 + 1) + 1· (2 + 1)

= 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1

Wir schreiben jetzt 2·2 als 2² und 1·1 als 1². Außerdem wenden wir das Kommutativgesetz auf die beiden Summanden in der Mitte an, denn es gilt: a·b = b·a und damit für unser Beispiel 2·1 = 1·2

Wir können die Faktoren nun vertauschen und haben 2 mal das gleiche Produkt mit 2·1 dort zu stehen:

2·1 + 1·2 = 2·1 + 2·1 = 2·(2·1)

Wir erhalten zusammengefasst:

(2 + 1)·(2 + 1) = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1 = 2² + 2·(2·1) + 1²

Grafische Herleitung der 1. Binomischen Formel

Für ein besseres Verständnis stellen wir dies nun grafisch dar. Wir starten mit der Anfangsgleichung, also 3·3 = 3², was grafisch einem Quadrat mit der Seitenlänge 3 entspricht.

Der Flächeninhalt beträgt 9.

Teilen wir jetzt die Seitenlänge auf in 3 = 2 + 1 so erhalten wir:

Wir erkennen anhand der Grafik, dass sich unsere Fläche in vier kleinere Flächen aufteilt. Das ist genau das, was wir vorhin bereits berechnet haben. Jetzt können wir erneut so vorgehen. Wir fassen die beiden grünen Flächen zusammen, da sie gleich groß sind. Wir erhalten somit für die Fläche:

Fläche = 2² + 2·(2·1) + 1² = 4 + 4 + 1 = 9. Auch hier beträgt der Flächeninhalt wieder 9. Vergleiche folgende Grafik:

Betrachten wir unsere Rechnung einmal etwas allgemeiner und ersetzen die 2 mit einem a und die 1 mit einem b dann erhalten wir:

(2 + 1)² = 2² + 2·(2·1) + 1²
(a + b)² = a² + 2·(a·b) + b²
Schreiben wir das noch ohne Punkt und Komma:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Und damit haben wir unsere 1. Binomische Formel:

(a + b) · (a + b) = a² + 2ab + b²

Hier als Grafik mit der Herleitung:

Fläche = (2 + 1) · (2 + 1)
Fläche = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1
Diese Formel formen wir weiter um:
Fläche = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1
Fläche = 2·2 + 2·1 + 2·1 + 1·1
Fläche = 2·2 + (2·1) + (2·1) + 1·1
Fläche = 2·2 + 2·(2·1) + 1·1
Fläche = 2² + 2·(2·1) + 1²
allgemein:
Fläche = a² + 2·(a·b) + b²

Rechner Binomische Formeln