1. Binomische Formel

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Wir erklären die 1. Binomische Formel anhand eines Beispiels:

Nehmen wir uns die Gleichung 3·3 = 32 . Schreiben wir anstatt von 3 einfach (2 + 1) so erhalten wir:

3·3 = (2 + 1)·(2 + 1) = (2 + 1)2

Diese Multiplikation wollen wir nun berechnen. Wir wissen, dass wir jeden Wert aus der ersten Klammer mit jedem Wert aus der zweiten Klammern multiplizieren müssen. Das machen wir jetzt einmal:

(2 + 1)·(2 + 1) = 2· (2 + 1) + 1· (2 + 1)

= 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1

Wir schreiben jetzt 2·2 als 22 und 1·1 als 12. Außerdem wenden wir das Kommutativgesetz auf die beiden Summanden in der Mitte an, denn es gilt: a·b = b·a und damit für unser Beispiel 2·1 = 1·2

Wir können die Faktoren nun vertauschen und haben 2 mal das gleiche Produkt mit 2·1 dort zu stehen:

2·1 + 1·2 = 2·1 + 2·1 = 2·(2·1)

Wir erhalten zusammengefasst:

(2 + 1)·(2 + 1) = 2·2 + 2·1 + 1·2 + 1·1 = 2² + 2·(2·1) + 1²

Übertragen wir das ins Allgemeine mit der Hilfe von Variablen:

(a + b)·(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a²+ 2·(a·b) + b²

Damit ergibt sich die 1. binomische Formel mit:

(a + b)·(a + b) = a²+ 2·a·b + b²
bzw.
(a + b)² = a²+ 2·a·b + b²

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