Anwendungen der Binomischen Formeln

Schriftliches Rechnen vereinfachen

Binomische Formeln lassen sich auch dazu benutzen, das schriftliche Rechnen zu vereinfachen. Beispiele:

= 408²
= (400 + 8)²
= 400² + 2·400·8 + 8²
= 160000 + 6400 + 64
= 166464

= 198 · 202
= (200-2) · (200+2)
= 200² - 2²
= 40000 - 4
= 39996

= 44² - 26²
= (44+26) · (44-26)
= 70 · 18
= 1260

Faktorisieren mit Binomischen Formeln

Faktorisieren kommt von "Faktor", den wir bereits bei der Multiplikation kennengelernt hatten. Bei den binomischen Formeln haben wir zwei Faktoren (richtig, das sind die Klammern):

(a + b)² = (a + b) · (a + b)
Produkt = Faktor1 · Faktor2

Wenn wir nun eine ausgerechnete binomische Gleichung vorzuliegen haben und der Lehrer sagt, faktorisiere wieder, dann müsst ihr die Gleichung wieder in die Klammerform bringen. Beispiel:

= x² + 6x + 9

Allgemein:
= a² + 2ab + b²

Jetzt sieht man beim direkten Gegenüberstellen:
x² = a² 6x = 2ab 9 = b²

Und kann ausrechnen (Wurzel ziehen):
a = x und b = 3

Dann beim Allgemeinen einsetzen und konkrete Werte erhalten:
= a² + 2·a·b + b² → (a + b)²
= x² + 2·x·3 + 3² → (x + 3)²

Probe:
(x + 3)² = (x + 3)·(x + 3) = x·x + 3x + 3x + 3·3 = x² + 6x + 9

Das Faktorisieren wenden wir zum Beispiel bei den Quadratischen Funktionen, speziell bei der quadratischen Ergänzung an.