Abhängigkeit des Integrals

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Noch ein wichtiger Hinweis: Ist die Substitution vollbracht, muss das neue Integral einzig von z abhängen. Ist weiterhin ein x im Integral zu finden, so ist die Substitution nicht vollständig oder unsinnig. Im letzteren Fall müssen wir entweder eine andere Substitution wählen oder gar das Mittel ändern und beispielsweise mit der partiellen Integration herangehen. Im ersteren Fall muss man eventuelle noch vorhandene x weiter ersetzen. Das schauen wir uns an einem Beispiel an, damit das klar ist.

Problem:

\( \int x\cdot\sqrt{x+1}^5 \; dx \)

1. Schritt: Identifizierung des Substituenten -> \( \sqrt{x+1} = z \)

2. Schritt: Nebenrechnung

\( \sqrt{x+1} = z \) (Es werden beide Seiten nach x abgeleitet)

\( \frac12\frac{1}{\sqrt{x+1}} = dz/dx \) Nach dx auflösen

\( dx = 2\cdot\sqrt{x+1}\;dz \)

3. Schritt: Eigentliche Substitution

\( \int x\cdot\sqrt{x+1}^5 \; dx= \int x\cdot z^5 \; 2\sqrt{x+1}dz \)

Nun sind wir mit Schritt 3 noch nicht fertig. Wir haben noch x’en im Integral. Hinterer Teil ist schnell erledigt. Die Wurzel kann direkt wieder durch z ersetzt werden. Das x stellt allerdings ein Problem dar. Doch wissen wir:

\( z = \sqrt{x+1} \) Quadrieren

\( z^2 = x+1 \) Nach x auflösen

\( x = z^2-1 \)

Damit ergibt sich nun für oben:

\( \int (z^2-1)\cdot z^5 \cdot2\cdot z \; dz \)

4. Schritt: Integration durchführen (Die 2 ziehen wir vor das Integral)

\( \int(z^2-1)\cdot z^5\cdot 2 \cdot z \; dz = 2\int (z^8-z^6)\; dz \)

\( =2 \left( \int z^8 \; dz - \int z^6 \; dz\right) = \frac29z^9 - \frac27z^7 + c \)

5. Schritt: Resubstitution (Wieder \( z = \sqrt{x+1} \) einsetzen)

\( \frac29z^9 - \frac27z^7 + c = \frac{2}{9}\sqrt{x+1}^9 - \frac27\sqrt{x+1}^7 + c \)

So sind wir also dem Integral beigekommen, indem wir ein paar x-en zusätzlich durch z ersetzen mussten.

Hinweis: Man hätte dem Integral insgesamt leichter bekommen können, hätte man sich mit der Substitution u = x+1 begnügt. Der Aha-Effekt wäre aber nicht der gleiche gewesen. Für die Leute mit Ehrgeiz: Probierts mal selbst. Das Ergebnis ist dasselbe!

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