Integration mittels Substitution: Beispielrechnung

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Nehmen wir uns das Integral \( \int e^{4x} \;dx \) zur Hand und berechnen dies mittels der Substitution. Dabei setzen wir voraus, dass die Integration von \( e^x \) kein Problem darstellt - immerhin ergibt das ja direkt wieder die e-Funktion.

Problem:

\( \int e^{4x} \; dx \)

1. Schritt: Identifizierung des Substituenten -> \( 4x = z \)

2. Schritt: Nebenrechnung

4x = z (Es werden beide Seiten nach x abgeleitet)

4 = dz/dx Nach dx auflösen

dx = dz/4

3. Schritt: Eigentliche Substitution

\( \int e^{4x} \; dx= \int e^{z} \;\frac{dz}{4} \)

4. Schritt: Integration durchführen (Bei uns kann man ja \( \frac14 \) vor das Integral ziehen)

\( \frac14\int e^{z} \; dz = \frac14 e^z + c \)

5. Schritt: Resubstitution (Wieder z = 4x einsetzen)

\( \frac14e^{4x} + c \)

Mit fünf Schritten ist es bei der Substitution also meist getan.

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