Integration mittels Substitution - Einführung

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Nachdem wir wesentliche Integrationsregeln kennen gelernt haben, betrachten wir uns als nächstes die Integration mittels Substitution. Erinnern wir uns an die Kettenregel, so wird das Prinzip der Substitution schnell klar, denn es handelt sich um das Gegenstück der Kettenregel. Das ist auch ein hilfreicher Tipp, wenn sich die Fragestellung auftut, ob die Substitution Anwendung findet oder nicht. Würde man bei der Ableitung einer Funktion die Kettenregel verwenden, wird zum Integrieren oft die Substitution verwendet.

Liegt eine Funktion in der Form f(g(t)) · g’(t) vor, nutzt man die Substitution. Dabei wollen wir dieses Integral auf ein möglichst einfaches bzw. bekanntes Integral zurückführen um dann dieses zu errechnen und durch Rücksubstitution das eigentliche Integral zu berechnen. Dabei wird das g(t) durch z ersetzt.

\( \int f(g(t))\cdot g'(t)\; dt = \int f(z)\cdot g'(t) \; dt \)

Damit alleine ist es aber nicht getan. Nun haben wir ja noch das Differential dt, sowie auch noch g’(t). Das würde bedeuten, wir müssten das Integral weiterhin nach t integrieren, haben aber noch ein \( z \) mit dabei. Dies muss also auch ersetzt werden. Dazu wird ein jedes Mal eine Nebenrechnung gemacht. Dabei wird z = g(t) gesetzt, die eigentliche Substitution (aus dem Lateinischen “Ersetzen”) und davon die Ableitung gebildet (Anmerkung: Ist nicht 100% mathematisch korrekt, wird aber - abgesehen von den Mathematikern - überall so verwendet, weswegen wir auch nicht weiter ins Detail gehen).

Nebenrechnung:

z = g(t) (Ableitung nach t)

z’ = g’(t)

Nun wird das z’ meist als dz/dt geschrieben (eine andere Schreibweise für die Ableitung (nach t)), weswegen man hat:

dz/dt = g’(t)

dz = g’(t) dt

Nun wird dies nach dt umgeformt um das Differential in der eigentlichen Ableitung zu ersetzen.

dt = dt/g’(t)

Damit wieder in das Integral:

\( \int f(g(t)) \cdot g'(t) \;dt = \int f(z) \cdot g'(t) \;dt = \int f(z) \cdot g'(t) \;\frac{dz}{g'(t)} = \int f(z) \; dz \)

Das Integral ist nun stark vereinfacht und kann berechnet werden. Da wir nun nach z integrieren, ist das mit unserem Ursprungsintegral nicht mehr identisch und es muss am Ende resubstituiert werden. Sprich man hat das z wieder durch g(t) zu ersetzen.

Soweit zur Theorie. Schauen wir uns das in einem Beispiel an und sehen, dass die Praxis deutlich einfacher ist als die Theorie.

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