Wissen: Integrationsregeln

Integrationsregeln

Wie versprochen, stürzen wir uns nun auf die Integrationsregeln, um dann bald mit der Berechnung von Flächen beginnen zu können. Zur Berechnung der Flächen haben wir eine Funktion f(x) gegeben und müssen die Stammfunktion F(x) bestimmen, wobei uns die folgenden Regeln zur Hilfe stehen sollen.

Faktorregel

$$\int c\cdot f(x) = c\int f(x)$$

Dabei ist c konstant, also unabhängig von x. Man kann c also vor das Integral schreiben und damit die Rechnung vereinfachen.

Beispiele:

$$\int 3\cdot \sin(x) \; dx = 3 \cdot \int \sin(x) \; dx = -3\cdot \cos(x) + c$$ $$\int a\cdot x^3 \; dx = a \cdot \int x^3 \; dx = \frac a4 x^4 + c$$

Dabei ist a unabhängig von x und damit konstant.

Summenregel/Differenzenregel

$$\int \left[f(x) \pm g(x)\right] \; dx = \int f(x) \; dx \pm \int g(x) \; dx$$

Hat man eine Summe (oder Differenz) aus von x abhängigen Summanden, so kann man jeden Summanden einzeln integrieren und muss sich nicht um den ganzen Term auf einmal kümmern.

Beispiele:

$$\int \left(3x^2 + 4x\right) \; dx = \int 3x^2 \; dx + \int 4x \; dx = x^3 + 2x^2 + c$$ $$\int \left(\sin(x) - \frac1x \right) \; dx = \int \sin(x) \; dx - \frac1x \; dx = -\cos(x) - \ln|x| + c$$

Beachte, dass man nur einmal die Konstante c addieren muss, obwohl wir zwei Integrale haben. Aber selbst, wenn wir je eine Konstante a und b addieren, kann man diese zu c zusammenfassen.

Partielle Integration

Dieses Verfahren ist etwas komplexer, um es in nur zwei Zeilen zu erklären, weswegen wir uns das in einem weiteren Kapitel etwas langsamer anschauen.

$$\int f(x)\cdot g’(x) \; dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right] - \int f’(x) \cdot g(x) \; dx$$

Integration per Substitution

Dieses Verfahren ist etwas komplexer, um es in nur zwei Zeilen zu erklären, weswegen wir uns das in einem weiteren Kapitel etwas langsamer anschauen.

$$\int_{a}^{b} f(g(t)) \cdot g’(t) \; dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \; dx$$

Weitere Regel

Eine weitere Regel wollen wir euch nicht vorenthalten, welche keinen speziellen Namen trägt, aber unter Umständen zur Bestimmung von einer Stammfunktion beiträgt.

$$ \int \frac{f’(x)}{f(x)} \; dx = \ln|f(x)| + c $$

Beispiele

$$\int \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x} \; dx = \ln|x^3+2x| + c$$ $$\int \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} \; dx = \ln|\cos(x)| + c$$

Oft kann man einen Bruch auch splitten/ergänzen, um einen Teilausdruck mittels dieses Verfahrens zu integrieren und den verbleibenden Rest über ein anderes Verfahren zu integrieren.