Beispiele für Doppelsummen

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Wählen wir eine schwierige Doppelsumme und lösen diese:

$$ \sum_{\color{blue}{i=2}}^{\color{blue}{4}}\sum_{\color{red}{j=1}}^{\color{red}{4}}{ (i-1) \cdot 3^j } $$

Um es uns einfacher zu machen, schreiben wir die Funktion (also die Berechnungsvorschrift für die Summanden) 4 mal (j = 1, 2, 3, 4) nebeneinander und 3 mal (i = 2, 3, 4) untereinander:

$$ (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j \\ (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j \\ (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j + (i-1) \cdot 3^j = $$

Dann können wir die Werte für i einsetzen, je Zeile: i=2, i=3, i=4:

$$ (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^j \\ (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^j \\ (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^j = $$

Als nächstes setzen wir die Werte für die Laufvariable j ein mit j=1, j=2, j=3, j=4:

$$ (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{1} + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{2} + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{3} + (\color{blue}{2}-1) \cdot 3^\color{red}{4} \\ (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{1} + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{2} + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{3} + (\color{blue}{3}-1) \cdot 3^\color{red}{4} \\ (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{1} + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{2} + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{3} + (\color{blue}{4}-1) \cdot 3^\color{red}{4} = $$

Das müssen wir noch ausrechnen und kommen auf:

$$ (1) \cdot 3 + (1) \cdot 9 + (1) \cdot 27 + (1) \cdot 81 \\ (2) \cdot 3 + (2) \cdot 9 + (2) \cdot 27 + (2) \cdot 81 \\ (3) \cdot 3 + (3) \cdot 9 + (3) \cdot 27 + (3) \cdot 81 = 720 $$

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