Höhensatz des Euklid

Sofern wir die Höhe ermitteln sollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung, die wir ebenfalls im Video herleiten. Wir können die Höhe bereits ermitteln, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind. Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen:

Höhensatz des Euklid (Höhenformeln fürs Rechtwinklige Dreieck)

Höhenformeln (Rechtwinkliges Dreieck)

Die Formel h² = q·p bezeichnet man auch als Höhensatz des Euklid. Die Herleitung sei im Folgenden aufgeführt, für die Bezeichnung der Unbekannten vergleiche obige Dreiecksgrafik:

p² = a² - h² → = p² + h²

q² = b² - h² → = q² + h²

Satz des Pythagoras:

+ = c²   | Einsetzen der Formeln für a² und b²

(p² + h²) + (q² + h²) = c²

p² + h² + q² + h² = c²

p² + q² + 2·h² = c²   | c ergibt sich aus (p+q)

p² + q² + 2·h² = (p+q)²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²   | -q² - p²

2·h² = 2·p·q   | :2

h² = p·q

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