Höhensatz des Euklid

Lesedauer: 3 min | Vorlesen

Sofern wir die Höhe ermitteln sollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung, die wir ebenfalls im Video herleiten. Wir können die Höhe bereits ermitteln, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind. Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen:

Höhensatz des Euklid (Höhenformeln fürs Rechtwinklige Dreieck)

Höhenformeln (Rechtwinkliges Dreieck)

Die Formel h² = q·p bezeichnet man auch als Höhensatz des Euklid. Die Herleitung sei im Folgenden aufgeführt, für die Bezeichnung der Unbekannten vergleiche obige Dreiecksgrafik:

p² = a² - h² → = p² + h²

q² = b² - h² → = q² + h²

Satz des Pythagoras:

+ = c²   | Einsetzen der Formeln für a² und b²

(p² + h²) + (q² + h²) = c²

p² + h² + q² + h² = c²

p² + q² + 2·h² = c²   | c ergibt sich aus (p+q)

p² + q² + 2·h² = (p+q)²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²   | -q² - p²

2·h² = 2·p·q   | :2

h² = p·q

  Hinweis senden