Höhensatz des Euklid

Sofern wir die Höhe eines Dreiecks ermitteln wollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung.

Wir können die Höhe bereits berechnen, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind (mit Hilfe des Kosinussatzes).

Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen. Dazu benutzen wir den sogenannten Höhensatz des Euklid, der aus zwei Höhenformeln für das rechtwinklige Dreieck besteht:

Höhenformeln (Rechtwinkliges Dreieck)

Die Formel h² = q·p bezeichnet man auch als Höhensatz des Euklid. Die Herleitung sei im Folgenden aufgeführt. Die Unbekannten sind gemäß Dreiecksgrafik oben benannt:

p² = a² - h²
= p² + h²

q² = b² - h²
= q² + h²

Mit Satz des Pythagoras:

+ = c²   | Einsetzen der Formeln für a² und b²
(p² + h²) + (q² + h²) = c²
p² + h² + q² + h² = c²
p² + q² + 2·h² = c²   | c ergibt sich aus (p+q)
p² + q² + 2·h² = (p+q)²
p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²
p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²   | -q² - p²
2·h² = 2·p·q   | :2
h² = p·q