Kathetensatz des Euklid

Erinnern wir uns, die Katheten sind die beiden kurzen Seiten des Dreiecks, also Seiten a und b. Wenn wir die Höhe auf c einzeichnen, erhalten wir die folgende bereits bekannte Grafik:

Rechtwinkliges Dreieck mit Strecken a,b,c,p,q

Es sind zwei kleine rechtwinklige Dreiecke entstanden, auf die wir nun den Satz des Pythagoras anwenden könnnen:

a² = p² + h²   | für h² setzen wir den Höhensatz von oben ein mit h²=p·q

a² = p² + (p·q)   | p ausklammern

a² = p · (p + q)   | (p+q) ist ja c, also ersetzen wir den Term mit c

a² = p · c   | das ist der 1. Teil des Kathetensatzes

Nun betrachten wir das zweite kleine Dreieck:

b² = q² + h²   | für h² setzen wir den Höhensatz von oben ein mit h²=p·q

b² = q² + (p·q)   | q ausklammern

b² = q · (q + p)   | (q+p) ist ja c, also ersetzen wir den Term mit c

b² = q · c   | das ist der 2. Teil des Kathetensatzes

Höhensatz und Kathetensatz des Euklid in einer Grafik:

Höhensatz und Kathetensatz des Euklid Grafik

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