Wissen: Skalarmultiplikation

Was ist ein Skalar?

Der Begriff „Skalar“ gilt auf den Mathematiker William Rowan Hamilton zurück. Er sagte, der „Skalar“ skaliert (also vergrößert bzw. verkleinert) den Vektor bzw. die Vektorlänge.

Skalarmultiplikation bei Vektoren

Merkt euch die in den Videos aufgeführten Fälle für die Skalarmultiplikation s·v = r mit:

s = 1 keine Skalierung
s > 1 Vektorstreckung
0 < s < 1 Vektorstauchung
s = 0 Nullvektor
-1 < s < 0 gestauchter Gegenvektor
s = -1 Gegengevektor
s < -1 gestreckter Gegenvektor

Wenn der Skalar positiv ist, bleibt die Vektorrichtung unverändert. Ist der Skalar negativ, kehrt sich die Vektorrichtung um, der Vektor zeigt dann in die entgegengesetzte Richtung.

Nullvektor

Multiplizieren wir den Vektor mit dem Skalar s = 0, so erhalten wir den Nullvektor:

Gegenvektor

Multiplizieren wir unseren Vektor mit dem Skalar s = (-1), dann erzeugen wir seinen Gegenvektor:

Bei jeder Multiplikation mit einem negativen Skalar, dreht sich der Vektor um 180°, das heißt seine Richtung wird umgekehrt.

Bei der Skalarmultiplikation muss der Skalar stets mit allen Komponenten des Vektors multipliziert werden:

Rechengesetze

Die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten ebenfalls für die Skalarmultiplikation:

Grafisch können wir das Distributivgesetz so darstellen:

Wie auch im Video gezeigt, erlauben uns die Rechengesetze für Vektoren ebenfalls wie folgt zu rechnen: (-s)·v = s·(-v) = -(s·v)