Wissen: Skalarmultiplikation
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[Verbergen]Was ist ein Skalar?
Der Begriff „Skalar“ gilt auf den Mathematiker William Rowan Hamilton zurück. Er sagte, der „Skalar“ skaliert (also vergrößert bzw. verkleinert) den Vektor bzw. die Vektorlänge.
Skalarmultiplikation bei Vektoren
Merkt euch die in den Videos aufgeführten Fälle für die Skalarmultiplikation s·v = r mit:
s = 1 keine Skalierung
s > 1 Vektorstreckung
0 < s < 1 Vektorstauchung
s = 0 Nullvektor
-1 < s < 0 gestauchter Gegenvektor
s = -1 Gegengevektor
s < -1 gestreckter Gegenvektor
Wenn der Skalar positiv ist, bleibt die Vektorrichtung unverändert. Ist der Skalar negativ, kehrt sich die Vektorrichtung um, der Vektor zeigt dann in die entgegengesetzte Richtung.
Nullvektor
Multiplizieren wir den Vektor mit dem Skalar s = 0, so erhalten wir den Nullvektor:
Gegenvektor
Multiplizieren wir unseren Vektor mit dem Skalar s = (-1), dann erzeugen wir seinen Gegenvektor:
Bei jeder Multiplikation mit einem negativen Skalar, dreht sich der Vektor um 180°, das heißt seine Richtung wird umgekehrt.
Bei der Skalarmultiplikation muss der Skalar stets mit allen Komponenten des Vektors multipliziert werden:
Rechengesetze
Die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten ebenfalls für die Skalarmultiplikation:
Grafisch können wir das Distributivgesetz so darstellen:
Wie auch im Video gezeigt, erlauben uns die Rechengesetze für Vektoren ebenfalls wie folgt zu rechnen: (-s)·v = s·(-v) = -(s·v)