Wissen: Würfel
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[Verbergen]Wortherkunft
Das Wort "Würfel" kommt von "Wurf", was wiederum aus "werfen" hervorging. Wahrscheinlich hat sich der Begriff für den geometrischen Körper aus seinem Einsatz beim Würfelspielen ergeben.
Was ist ein Würfel?
Ein Würfel (auch Hexaeder/Sechsflächner/Kubus genannt) ist ein geometrischer Körper, der aus 6 aneinanderliegenden Quadratflächen besteht (Begrenzungsflächen). Alle Seiten der Quadratflächen haben die gleiche Länge und stehen senkrecht aufeinander, zwei Seiten liegen jeweils parallel gegenüber. Wichtig für die Formeln und Berechnungen ist, dass man die Formeln für das Quadrat beherrscht.
Merkmale des Würfels
- Der Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken und 12 Kanten.
- Alle Kanten (Seiten) sind gleich lang.
- Er ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung.
- Der Inkugelradius ergibt sich aus der Hälfte der Seite a, also a/2. Abbildung öffnen
- Der Umkugelradius ergibt sich aus Wurzel aus 3 multipliziert mit der Hälfte der Seite a, also √3·a/2.
Würfelnetz
Wenn man den Würfel aufklappt und auf eine Ebene legt, ergibt sich das folgende Würfelnetz (man erkennt nun gut die 6 Würfelflächen):
Herleitung der Formel für die Raumdiagonale a·√3
Hierzu muss man sich zuerst die Flächendiagonale d vor Augen führen, denn diese kann man mit dem Satz des Pythagoras aus zwei Würfelseiten berechnen: d² = a² + a², damit also d = √(a² + a²)
Weiterhin kann man erkennen, dass die Raumdiagonale e mit der Diagonale d und einer Seite a ein Dreieck aufspannt. Hier lässt sich ebenfalls der Satz des Pythagoras verwenden und wie folgt aufstellen:
e² = √(d² + a²)
Wir wissen aus dem Absatz zuvor, dass d = √(a² + a²), setzen wir dies für d² ein.
e² = d² + a²
e = √(d² + a²)
e = √((a²+a²) + a²)
e = √(a² + a² + a²) | a² + a² + a² = 3·a²
e = √(3·a²) | Wurzel auf beide Faktoren ziehen
e = √3·√a²
e = √3·a | oder mit vertauschten Faktoren
e = a·√3
Und schon haben wir Herleitung der Formel für die Raumdiagonale des Würfels.
Alle Würfelformeln auf einen Blick
Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen eines Würfels:
Link zur Grafik: https://www.matheretter.de/img/wurfel/formeln.png
Erläuterungen:
Flächendiagonale = Seite mal Wurzel aus 2 → d = a·√2
Raumdiagonale = Seite mal Wurzel aus 3 → e = a·√3
Umfang = 4 mal Seite → u = 4·a
Grundfläche = Seite ins Quadrat → G = a²
Mantelfläche = 4 mal Grundfläche → M = 4·a²
Oberfläche = 6 mal Grundfläche → O = 6·a²
Volumen = Grundfläche hoch 3 → V = a³
Länge aller Seiten = 12 mal Seite → l = 12·a
Herleitung der Raumdiagonale e = √(a²+a²+a²) = √(3·a²) = √3·√a² = a·√3
Würfel-Animationen in 3D
Diese GIF-Animationen können in allen Browsern betrachtet werden:
- Vom Würfelnetz zum Würfel-Körper ← Das Würfelnetz faltet sich zusammen, sehr schöne Animation!
- Rotierender Würfel (durchsichtig)
- Rotierender Würfel (opaque)
- Würfel fallend mit Querschnitt (1)
- Würfel fallend mit Querschnitt (2)
- Würfel fallend mit Querschnitt (3)
- Vom Würfelnetz zum Würfel-Körper (2d zu 3d)
- Hyper-Würfel-Animation
