Herleitung der Formel für die Raumdiagonale a·√3

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Hierzu muss man sich zuerst die Flächendiagonale d vor Augen führen, denn diese kann man mit dem Satz des Pythagoras aus zwei Würfelseiten berechnen: d² = a² + a², damit also d = √(a² + a²)

Weiterhin kann man erkennen, dass die Raumdiagonale e mit der Diagonale d und einer Seite a ein Dreieck aufspannt. Hier lässt sich ebenfalls der Satz des Pythagoras verwenden und wie folgt aufstellen:

e² = √(d² + a²)

Wir wissen aus dem Absatz zuvor, dass d = √(a² + a²), setzen wir dies für d² ein.

e² = d² + a²
e = √(d² + a²)
e = √((a²+a²) + a²)
e = √(a² + a² + a²)   | a² + a² + a² = 3·a²
e = √(3·a²)   | Wurzel auf beide Faktoren ziehen
e = √3·√a²
e = √3·a   | oder mit vertauschten Faktoren
e = a·√3

Und schon haben wir die Formel für die Raumdiagonale des Würfels hergeleitet.

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