VEK06: Einheitsvektor

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Laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Nach der Skalarmultiplikation lernen wir nun den Einheitsvektor kennen. Jeder Vektor mit der Länge 1 wird als Einheitsvektor bezeichnet.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Einheitsvektor?

Der Begriff "Einheitsvektor" wird verwendet, da dieser Vektor einheitlich die Länge 1 hat. Man schreibt für Einheitsvektor meist \( \vec{e} \). Damit lässt sich der Einheitsvektor definieren als:

$$ |\vec{e}| = 1 $$

Man kann zu jedem Vektor (außer dem Nullvektor mit der Länge 0) einen dazugehörigen Einheitsvektor berechnen. Dabei zeigt der gebildete Einheitsvektor in die gleiche Richtung wie der Vektor. Um die Dazugehörigkeit zu kennzeichnen, setzt man den Vektornamen in den Index beim Einheitsvektor: Ursprünglicher Vektor ist \( \vec{a} \), sein Einheitsvektor \( \vec{e_{a}} \).

Wenn man den Einheitsvektor mit dem Betrag des ursprünglichen Vektors multipliziert, kommt man wieder auf diesen Vektor.

Berechnung des Einheitsvektors

Ziel ist es, den gegebenen Vektor zu "normieren", also auf die Länge 1 zu bringen. Hierfür dividieren wir den Vektor (nennen wir ihn \( \vec{a} \)) durch seine Länge. Allgemein notiert:

$$ \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} $$

Beispiel zur Berechnung:

Gegeben sei der Vektor \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} \). Für diesen soll nun der Einheitsvektor bestimmt werden. Unsere Formel hierfür lautet:

$$ \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} $$

Zuerst müssen wir die Vektorlänge \( |\vec{a}| \) zu bestimmen. Diese berechnet sich mittels Satz des Pythagoras:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 $$

Nun können wir die Werte in unsere Formel einsetzen:

$$ \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ \vec{e_{a}} = \frac{ \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} }{ 5 } = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,8 \\ 0,6 \end{pmatrix} $$

Zeichnen wir den Vektor und seinen Einheitsvektor:

Wir erkennen, dass beide in die gleiche Richtung zeigen.

Merkt euch also die allgemeine Formel zur Berechnung des Einheitsvektors wie folgt:

$$ \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{ \begin{pmatrix}\frac{x}{y}\end{pmatrix} }{|\vec{a}|} = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{x}{|\vec{a}|} }{ \frac{y}{|\vec{a}|} }\end{pmatrix} $$

Länge des Einheitsvektors

Berechnen wir die Länge des Einheitsvektors aus obigem Beispiel, um zu prüfen, ob seine Länge auch wirklich 1 ist:

$$ |\vec{e}| = \sqrt{0,8^2 + 0,6^2} = \sqrt{0,64 + 0,36} = \sqrt{1} = 1 $$

Korrekt. Die Länge des Einheitsvektors ist 1.

Basisvektoren

Die Basisvektoren sind Einheitsvektoren, die die Basis für das Koordinatensystem bilden. Sie geben die Richtungen des Koordinatensystems an. Im zweidimensionalen Koordinatensystem wären das:

$$ \vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \text{ und } \ \vec{e_y} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$

Jeder Vektor baut auf diesen Basisvektoren auf, das heißt jeder Vektor kann mit Hilfe der skalaren Multiplikation von Basisvektoren gebildet werden.

Als Beispiel schreiben wir einen Vektor mit Hilfe der Linearkombination aus zwei Basisvektoren:

$$ \begin{pmatrix} 7\\9 \end{pmatrix} = 7 \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + 9 \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = 7 \cdot \vec{e_{x}} + 9 \cdot \vec{e_{y}} $$

Basisvektoren im Raum

Die Basisvektoren gibt es übrigens nicht nur im Zweidimensionalen (Ebene), sondern auch im Dreidimensionalen (Raum). Die Basisvektoren notiert man dort wie folgt:

$$ \vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \quad \vec{e_y} \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \quad \vec{e_z} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Grafisch kann man sie in den Ursprung des Koordinatensystems zeichnen. Die Basisvektoren liegen auf den Achsen mit der Länge 1.

Mit diesen drei Basisvektoren und der Skalarmultiplikation können wir nun jeden beliebigen Vektor im Raum bilden. Man nennt sie auch "Standard-Basisvektoren" des dreidimensionalen Vektorraums R3.

Mathe-Programme zu Vektoren

  • Skalarmultiplikation
    Skalarmultiplikation
    Hier könnt ihr eine Zahl (sog. Skalar) mit einem Vektor multiplizieren. Der Vektor streckt oder staucht sich je nach Wert des Skalars. Bei negativen Werten ändert der Vektor seine Richtung.
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Tags: einfache Vektorrechnung für Schüler, Einheitsvektor
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