AB: Lektion Einheitsvektor

Nachfolgend findest du Aufgaben zur Lektion „Einheitsvektor“, mit denen du dein Wissen testen kannst.

1.

Beantworte die folgenden Fragen:

a)

Was ist ein Einheitsvektor?

Ein Vektor mit der einheitlichen Länge 1 wird „Einheitsvektor“ genannt.

b)

Welcher Buchstabe wird meist für den Einheitsvektor verwendet?

Meist e. Wir schreiben für den Einheitsvektor \( \vec{e} \).

c)

Können wir für jeden beliebigen Vektoren den Einheitsvektor berechnen?

Nein, nicht für den Nullvektor.

d)

Was haben Vektor und Einheitsvektor gemeinsam?

Beide zeigen in die gleiche Richtung. Die Längen sind jedoch unterschiedlich.

e)

Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung des Einheitsvektors?

Die Formel zur Berechnung des Einheitsvektors lautet:

\( \vec{e_{a}} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \)

2.

Löse die folgenden Aufgaben zum Einheitsvektor:

a)

Bilde den Einheitsvektor von:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\4 \end{pmatrix} \)

Berechnen wir zuerst die Vektorlänge:

\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{20} \)

\( \vec{e_{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{ \begin{pmatrix} \frac{2}{4} \end{pmatrix} }{ \sqrt{20} } = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{2}{\sqrt{20}} }{ \frac{4}{\sqrt{20}} }\end{pmatrix} \\ \vec{e_{v}} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{20}} \\ \frac{4}{\sqrt{20}} \end{pmatrix} ≈ \begin{pmatrix} 0,4472 \\ 0,8944 \end{pmatrix} \)

b)

Bilde den Einheitsvektor von:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix} \)

Berechnen wir zuerst die Vektorlänge:

\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 7^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{58} \)

\( \vec{e_{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{ \begin{pmatrix} \frac{3}{7} \end{pmatrix} }{ \sqrt{58} } = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{3}{\sqrt{58}} }{ \frac{7}{\sqrt{58}} }\end{pmatrix} \\ \vec{e_{v}} = \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{58}} \\ \frac{7}{\sqrt{58}} \end{pmatrix} ≈ \begin{pmatrix} 0,3939 \\ 0,9191 \end{pmatrix} \)

c)

Bilde den Einheitsvektor von:

\( \vec{v} = \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} \)

Berechnen wir zuerst die Vektorlänge:

\( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} \\ |\vec{v}| = \sqrt{5} \)

\( \vec{e_{v}} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{ \begin{pmatrix} \frac{-2}{1} \end{pmatrix} }{ \sqrt{5} } = \begin{pmatrix}\frac{ \frac{-2}{\sqrt{5}} }{ \frac{1}{\sqrt{5}} }\end{pmatrix} \\ \vec{e_{v}} = \begin{pmatrix} \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} ≈ \begin{pmatrix} -0,8944 \\ 0,4472 \end{pmatrix} \)

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