Abschnittsweise Funktionen

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Abschnittsweise Funktionen werden wie folgt definiert und notiert, Beispiel:

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{ -x^{2}} & {\text { für } x < -2} \\ {-4} & {\text { für }-2 \leq x \leq 2} \\ {x^{2}-8} & {\text { für } x > 2} \end{array}\right. $$

Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

graph funktion abschnittsweise

Monotonieverhalten für den gesamten Graphen bestimmen:
Die Funktion ist monoton steigend für ]-∞;∞[

Monotonieverhalten für die einzelnen Abschnitte bestimmen:
fI(x) = -x² → Die Funktion ist monoton steigend für ]-∞;-2[
fII(x) = -4 → Die Funktion ist monoton steigend für [-2; 2]
fIII(x) = x²-8 → Die Funktion ist monoton steigend für ]2;∞[

Hier ist darauf zu achten, dass wir die -2 nicht in die Monotonie des ersten Abschnitts einschließen dürfen, weil x = -2 nicht in der Defintionsmenge dieses Abschnitts enthalten ist. Mit anderen Wort, x = -2 ist nicht Teil des 1. Abschnitts, sondern nur Teil des 2. Abschnitts.

Sonderfall bei konstanter Funktion und konstantem Funktionsabschnitt: Bei einer konstanten Funktion tritt der gleiche y-Wert hintereinander auf. Zum Beispiel für f(x)=4 haben wir die y-Werte 4, 4, 4, ... Für diesen Fall gilt die Definition der steigenden Monotonie, aber auch die der fallenden Montonie. Daher müssen wir sagen: Die konstante Funktion ist monoton steigend und monoton fallend.

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