Gleichungen 1. bis 4. Grades (x¹ bis x⁴)

Inhaltsverzeichnis

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  1. Lösungsmöglichkeiten

Es gibt bestimmte Gleichungen, die sich besonders leicht klassifizieren, das heißt in bestimmte Klassen einteilen lassen. Die bekanntesten Gleichungstypen sind:

Diese Klassifizierung hat ihren Ursprung in der Suche nach Nullstellen von Polynomen. Zur Erinnerung: Ein Polynom ist ein Term in der Form an·xn + ... + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 (vgl. Ganzrationale Funktionen), also zum Beispiel f(x) = 3·x2 + 2,5·x + 5. Jedes Polynom kann = 0 gesetzt werden, es ergibt sich dann eine Polynomgleichung, mit der wir für die Unbekannte den Wert suchen, der die Gleichung zu Null ergibt.

Im Folgenden werden einige Arten von Gleichungen (Polyonmgleichungen) kurz vorgestellt.

Bei einer linearen Gleichung \(a·x + b = 0\) werden die Nullstellen eines linearen Polynoms \(a·x + b\) gesucht. Die Variablen a und b bilden die sogenannten Koeffizienten des Polynoms.

Eine quadratische Gleichung ist ein Ausdruck der Form \(a·x^2 + b·x + c = 0\). Es handelt sich um die Bestimmungsgleichung für die Nullstellen eines quadratischen Polynoms: \(a·x^2 + b·x + c\).

Schließlich ist \(a·x^3 + b·x^2 + c·x + d = 0\) die allgemeine Darstellung einer kubischen Gleichung. Das Polynom auf der linken Seite der Gleichung heißt kubisches Polynom.

Ist der Grad des Polynoms auf der linken Seite 4 (also die höchste Potenz der Unbekannten ist \(x^4\), so nennt man die Gleichung zur Bestimmung seiner Nullstellen quartische Gleichung. Der Begriff kommt aus dem Lateinischen (quartus = vierte) und soll auf den 4. Grad des Polynoms in der Gleichung hindeuten: \(a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e = 0\).

Lösungsmöglichkeiten

Lineare und quadratische Gleichungen lassen sich besonders leicht lösen. Quadratische Gleichungen lassen sich durch die abc-Formel (Mitternachtsformel) oder durch die p-q-Formel darstellen und mit Hilfe dieser Formeln finden.

Gleichungen 3. Grades heißen kubische Gleichungen. Kubische Gleichungen können bereits schwierig zu lösende Gleichungen sein.

Gleichungen der Form \(a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e = 0\) heißen quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades). Ihre Lösbarkeit und die Darstellungen ihrer Lösungen sind Gegenstand der höheren Mathematik.

In der Schule tauchen quartische Gleichungen meistens in einer vereinfachten Formen auf. Beispiele für vereinfachte Formen sind

$$ a·x^4 + e = 0 \quad|\quad \text{b = c = d = 0} \\ a·x^4 + c·x^2 = 0 \quad|\quad \text{ b = d = e = 0} \\ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 \quad|\quad e = 0 $$

Die Form ohne b und d (b=0 und d=0) ist \( a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \) Dies ist die sogenannte biquadratische Gleichung, sie ist die häufigste in der Schule auftauchende Form quartischer Gleichungen. Diese Gleichungen lassen sich durch die Substitution \( z = x^2 \) auf quadratische Gleichungen in \( z \) zurückführen: \( a·z^2 + c·z + e = 0 \)

Die Form \( a·x^6 + b·x^3 + c = 0 \) ist ein weiteres Beispiel einer Gleichung höheren Grades (hier: sechsten Grades), die sich durch eine Substitution (nämlich \( z = x^3 \)) lösen lässt.

In Schulaufgaben werden oft solche quartischen Gleichungen gegeben, die leicht zu ratende oder gar in der Aufgabenstellung vorgegebene Nullstellen haben.

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