Gleichungen - Einführung

Wir sprechen von einer „Gleichung“, wenn zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen sinnvoll verbunden werden. Dabei soll der eine Term („Linksterm“) dem anderen Term („Rechtsterm“) im Wert entsprechen.

Ein einfaches Beispiel ist: 3 + 5 = 8

Die Gleichung 3 · 4 = 10 + 2 sagt zum Beispiel, dass der Linksterm 3 · 4 gleich im Wert ist wie der Rechtserm 10 + 2.

Und richtig, beide Terme haben den Wert 12.

3 · 4 = 12
10 + 2 = 12

Eine Gleichung liegt nur dann vor, wenn ein Gleichheitszeichen = vorhanden ist, das zwei Terme sinnvoll in Zusammenhang bringt.

Gleichung mit Unbekannten

Ein Beispiel einer Gleichung mit einer Unbekannten ist:

x + 2 = 12

Diese Gleichung gilt nur, wenn x = 10 ist.

Kennen wir eine Zahl nicht (wir nennen sie „Unbekannte“ oder „Variable“), dann können wir die Gleichung so umstellen, dass sich der Wert der Variable ergibt.

Wir können mit Hilfe von Umformungen die Gleichung x + 2 = 12 wie folgt umstellen, um auf das Ergebnis zu kommen:

x + 2 = 12 | -2
x + 2 - 2 = 12 - 2
x + 0 = 10
x = 10

Dieses gleichwertige Umformen auf beiden Seiten der Gleichung nennen wir Äquivalenzumformung.

Arten von Gleichungen

Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Die wichtigsten sind im Folgenden aufgelistet:

1. Lineare Gleichungen

Beispiel: \( 3·x + 5 = 20 \)

Allgemeine Form: \( a·x + b = 0 \)

Artikel: Lineare Gleichungen

2. Quadratische Gleichungen

Beispiel: \( 7·x^2 + 3·x + 1 = 5 \)

Allgemeine Form: \( a·x^2 + b·x + c = 0 \)

Artikel: Quadratische Gleichungen

3. Kubische Gleichungen

Beispiel: \( x^3 + 3·x^2 + 4·x + 5 = 0 \)

Allgemeine Form: \( a·x^3 + b·x^2 + c·x + d = 0 \)

Artikel: Kubische Gleichungen

Man nennt die vorstehenden Arten von Gleichungen „Polynomgleichungen“, da sie aus Polynomen bestehen.

Weiterhin gibt es im Wesentlichen folgende Gleichungen:

4. Bruchgleichungen

Beispiel: \( \frac{1}{x+3} = 5 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Die Unbekannte kommt im Nenner eines Bruches vor.

Artikel: Bruchgleichungen

5. Exponentialgleichungen

Beispiel: \( 2^x = 30 \)

Allgemeine Form: \( a^x = b \)

Merkmal: Die Unbekannte kommt im Exponenten vor.

Artikel: Exponentialgleichungen

6. Wurzelgleichungen

Beispiel: \( 3·\sqrt{x} = 50 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Die Unbekannte steht unter einer Wurzel.

Artikel: Wurzelgleichungen

7. Logarithmusgleichungen

Beispiel: \( \log_{2} x = 128 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Die Unbekannte steht im Numerus.

Artikel: Logarithmusgleichungen

8. Trigonometrische Gleichungen

Beispiel: \( \sin(x) = 1 \)

Allgemeine Form für Sinus: \( a · \sin(b·x + c) + d = 0 \)
Allgemeine Form für Kosinus: \( a · \cos(b·x + c) + d = 0 \)
Allgemeine Form für Tangens: \( a · \tan(b·x + c) + d = 0 \)

Merkmal: Die Unbekannte x steht im Argument einer trigonometrischen Funktion.

Artikel: Trigonometrische Gleichungen

9. Differentialgleichungen

Beispiel: \( f'(x) = 4 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Es kommt eine Ableitung (erste, zweite, dritte, ...) der gesuchten Funktion vor. Bei den Differentialgleichungen gibt es Unterscheidungen nach Typen ähnlich wie bei der Integration.

Artikel: Differentialgleichungen