Gleichungen - Einführung

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Wir sprechen von einer „Gleichung“, wenn wir Terme mit einem Gleichheitszeichen sinnvoll verbinden.

Ein einfaches Beispiel wäre: \( 3 + 5 = 8 \)

Kennen wir eine Zahl nicht (wir nennen sie „Unbekannte“ oder „Variable“), dann können wir die Gleichung so umstellen, dass sich der Wert der Variable ergibt.

Man kann mit Hilfe von Umformungen eine Gleichung wie \( 3 + x = 8 \) so umstellen, dass sich \( x = 5 \) ergibt.

Arten von Gleichungen

Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Die wichtigsten sind im Folgenden aufgelistet:

1. Lineare Gleichungen

Beispiel: \( 3·x + 5 = 20 \)

Allgemeine Form: \( a·x + b = 0 \)

Artikel: Lineare Gleichungen

2. Quadratische Gleichungen

Beispiel: \( 7·x^2 + 3·x + 1 = 5 \)

Allgemeine Form: \( a·x^2 + b·x + c = 0 \)

Artikel: Quadratische Gleichungen

3. Kubische Gleichungen

Beispiel: \( x^3 + 3·x^2 + 4·x + 5 = 0 \)

Allgemeine Form: \( a·x^3 + b·x^2 + c·x + d = 0 \)

Artikel: Kubische Gleichungen

Man nennt die vorstehenden Arten von Gleichungen „Polynomgleichungen“, da sie aus Polynomen bestehen.

Ein Polynom ist ein Term in der Form an·xn + ... + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0.
Setzen wir ein Polynom = 0, dann ergibt sich eine Polynomgleichung, zum Beispiel: 3·x2 + 2,5·x + 5 = 10.

Weiterhin gibt es im Wesentlichen folgende Gleichungen:

4. Bruchgleichungen

Beispiel: \( \frac{1}{x+3} = 5 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Die Unbekannte kommt im Nenner eines Bruches vor.

Artikel: Bruchgleichungen

5. Exponentialgleichungen

Beispiel: \( 2^x = 30 \)

Allgemeine Form: \( a^x = b \)

Merkmal: Die Unbekannte kommt im Exponenten vor.

Artikel: Exponentialgleichungen

6. Wurzelgleichungen

Beispiel: \( 3·\sqrt{x} = 50 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Die Unbekannte steht unter einer Wurzel.

Artikel: Wurzelgleichungen

7. Logarithmusgleichungen

Beispiel: \( \log_{2} x = 128 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Die Unbekannte steht im Numerus.

Artikel: Logarithmusgleichungen

8. Trigonometrische Gleichungen

Beispiel: \( \sin(x) = 1 \)

Allgemeine Form für Sinus: \( a · \sin(b·x + c) + d = 0 \)
Allgemeine Form für Kosinus: \( a · \cos(b·x + c) + d = 0 \)
Allgemeine Form für Tangens: \( a · \tan(b·x + c) + d = 0 \)

Merkmal: Die Unbekannte x steht im Argument einer trigonometrischen Funktion.

Artikel: Trigonometrische Gleichungen

9. Differentialgleichungen

Beispiel: \( f'(x) = 4 \)

Allgemeine Form: –

Merkmal: Es kommt eine Ableitung (erste, zweite, dritte, ...) der gesuchten Funktion vor. Bei den Differentialgleichungen gibt es Unterscheidungen nach Typen ähnlich wie bei der Integration.

Artikel: Differentialgleichungen

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