Horner-Beispiel mit Polynom 5. Grades

Bei der Einführung hatten wir ein Polynom 2. Grades. Im Folgenden ein Beispiel zur Anwendung des Horner-Schemas mit einem Polynom 5. Grades. Wir klammern schrittweise die x aus:

$$ 2·x^5 + 15·x^4 - 2·x^3 + x^2 + 20·x + 5 \\[10pt] = 2·x·x·x·x·x + 15·x·x·x·x - 2·x·x·x + x·x + 20·x + 5 \\ = 2·x·x·x·x\color{red}{·x} + 15·x·x·x\color{red}{·x} - 2·x·x\color{red}{·x} + x\color{red}{·x} + 20\color{red}{·x} + 5 \\ = (2·x·x·x·x + 15·x·x·x - 2·x·x + x + 20)\color{red}{·x} + 5 \\[10pt] = (2·x·x·x·x + 15·x·x·x - 2·x·x + x + 20)·x + 5 \\ = (2·x·x·x\color{red}{·x} + 15·x·x\color{red}{·x} - 2·x\color{red}{·x} + 1\color{red}{·x} + 20)·x + 5 \\ = ((2·x·x·x + 15·x·x - 2·x + 1)\color{red}{·x} + 20)·x + 5 \\[10pt] = ((2·x·x·x + 15·x·x - 2·x + 1)·x + 20)·x + 5 \\ = ((2·x·x\color{red}{·x} + 15·x\color{red}{·x} - 2\color{red}{·x} + 1)·x + 20)·x + 5 \\ = (((2·x·x + 15·x - 2)\color{red}{·x} + 1)·x + 20)·x + 5 \\[10pt] = (((2·x·x + 15·x - 2)·x + 1)·x + 20)·x + 5 \\ = (((2·x\color{red}{·x} + 15\color{red}{·x} - 2)·x + 1)·x + 20)·x + 5 \\ = ((((2·x + 15)\color{red}{·x} - 2)·x + 1)·x + 20)·x + 5\\[10pt] = \color{blue}{ ((((2·x + 15)·x - 2)·x + 1)·x + 20)·x + 5 } $$

Aus 14 Multiplikationen wurden durch das Horner-Schema nur 5 Multiplikationen, was beachtlich ist. Insbesondere Berechnungen, die mit Computern durchgeführt werden, sind dadurch wesentlich schneller.

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