Polynomdivision mit Horner-Schema

Das Horner-Schema eignet sich auch, um Polynomdivisionen zu lösen. Dabei wird wie folgt schrittweise verfahren:

Es sei zu berechnen:

(1 x3 + 12 x2 + 47 x + 60) : (x + 5) =

Schritt 1:
Konstantes Glied des Divisors (x+5) mit umgekehrten Vorzeichen notieren, also -5.

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}& & & & \\ && \end{array} \)

Schritt 2:
Koeffizienten des Dividenden in Potenzreihenfolge herausschreiben:

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60 \\ && \end{array} \)

Schritt 3:
Ersten Koeffizienten unverändert notieren:

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&\color{blue}{1}& \end{array} \)

Schritt 4:
Wir multiplizieren die -5 mit der 1 und addieren die nächste Zahl herauf. (Ähnliches Prinzip wie beim Umwandeln der Binärzahlen, siehe oben.)

\( (\color{#ff5105}{-5}) · \color{blue}{1} + 12 = \color{green}{7} \)

Schritt 5:
Das Ergebnis 7 notieren wir in der nächsten Spalte:

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&\color{blue}{7}& \end{array} \)

Schritt 6:
Wir multiplizieren die -5 mit der 7 und addieren die nächste Zahl 47 herauf.

\( (\color{#ff5105}{-5})·\color{blue}{7} + 47 = \color{green}{12} \)

Schritt 7:
Das Ergebnis 12 notieren wir in der nächsten Spalte:

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&7&\color{blue}{12} \end{array} \)

Schritt 8:
Wir multiplizieren die -5 mit der 12 und addieren die nächste Zahl 60 herauf.

\( (\color{#ff5105}{-5})·\color{blue}{12} + 60 = \color{green}{0} \)

Schritt 9:
Das Ergebnis 0 notieren wir in der nächsten Spalte:

\( \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&7&12&\color{blue}{0} \end{array} \)

Schritt 10:
Wir haben als Ergebnis die Koeffizienten: 1, 7, 12, 0. Der Rest ist 0.

Unser Ergebnis-Polynom lautet demnach:

\( 1·x^2 + 7·x^1 + 12·x^0 \color{#AAA}{ + \frac{0}{x+5} } \)

Zusammenfassung:

\( (1 x^3 + 12 x^2 + 47 x + 60) : (x + 5) \\ = \color{blue}{1·x^2 + 7·x^1 + 12·x^0} \\ = \color{blue}{x^2 + 7·x + 12} \)