Polynomdivision mit Horner-Schema

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Das Horner-Schema eignet sich auch, um Polynomdivisionen zu lösen. Dabei wird wie folgt schrittweise verfahren:

Es sei zu berechnen: $$ (1 x^3 + 12 x^2 + 47 x + 60) : (x + 5) = $$

Schritt 1: Konstantes Glied des Divisors (x+5) mit umgekehrten Vorzeichen notieren, also -5.
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}& & & & \\ && \end{array} $$

Schritt 2: Koeffizienten des Dividenden in Potenzreihenfolge herausschreiben:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60 \\ && \end{array} $$

Schritt 3: Ersten Koeffizienten unverändert notieren:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&\color{blue}{1}& \end{array} $$

Schritt 4: Wir multiplizieren die -5 mit der 1 und addieren die nächste Zahl herauf. (Ähnliches Prinzip wie beim Umwandeln der Binärzahlen, siehe oben.)
$$ (\color{#ff5105}{-5})*\color{blue}{1} + 12 = \color{green}{7} $$

Schritt 5: Das Ergebnis 7 notieren wir in der nächsten Spalte:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&\color{blue}{7}& \end{array} $$

Schritt 6: Wir multiplizieren die -5 mit der 7 und addieren die nächste Zahl 47 herauf.
$$ (\color{#ff5105}{-5})·\color{blue}{7} + 47 = \color{green}{12} $$

Schritt 7: Das Ergebnis 12 notieren wir in der nächsten Spalte:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&7&\color{blue}{12} \end{array} $$

Schritt 8: Wir multiplizieren die -5 mit der 12 und addieren die nächste Zahl 60 herauf.
$$ (\color{#ff5105}{-5})·\color{blue}{12} + 60 = \color{green}{0} $$

Schritt 9: Das Ergebnis 0 notieren wir in der nächsten Spalte:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c}&x^{3}&x^{2}&x^{1}&x^{0}\\ \color{#ff5105}{-5}&1&12&47&60\\ \text{Lsg:}&1&7&12&\color{blue}{0} \end{array} $$

Schritt 10: Wir haben als Ergebnis die Koeffizienten: 1, 7, 12, 0. Der Rest ist 0.

Unser Ergebnis-Polynom lautet demnach:
$$ 1·x^2 + 7·x^1 + 12·x^0 \color{#AAA}{ + \frac{0}{x+5} } $$

Zusammenfassung:
$$ (1 x^3 + 12 x^2 + 47 x + 60) : (x + 5) = \color{blue}{1·x^2 + 7·x^1 + 12·x^0} = \color{blue}{x^2 + 7·x + 12} $$

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