Wissen: Monotonie bei Funktionen
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[Verbergen]Begriff „Monotonie“
Das Wort „monoton“ kommt von „monotonia“ (altgriechisch), wobei mono = ein, allein und tonia = Ton. Gemeint ist damit eintönig, ohne Veränderung.
Monotonie bei Zahlenfolgen
Eine streng monoton steigende Zahlenfolge ist: 2, 3, 5, 8, 10, 20
Es gilt, dass jedes Folgeglied größer ist als das vorige: 2 < 3 < 5 < 8 < 10 < 20
Eine monoton steigende Zahlenfolge ist: 3, 5, 5, 5, 20, 110
Es gilt, dass jedes Folgeglied größer gleich dem vorigen ist: 3 < 5 = 5 = 5 < 20 < 110
Eine streng monoton fallende Zahlenfolge ist: 20, 10, 8, 5, 3, 2
Es gilt, dass jedes Folgeglied kleiner ist als das vorige: 20 > 10 > 8 > 5 > 3 > 2
Eine monoton fallende Zahlenfolge ist: 110, 20, 5, 5, 5, 3
Es gilt, dass jedes Folgeglied kleiner gleich dem vorigen ist: 110 > 20 > 5 = 5 = 5 > 3
Monotonie bei Funktionen
Die Formel für die streng steigende Monotonie lautet:
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Das heißt, bei zunehmenden x-Werten ist jeder y-Wert bzw. Folgewert stets größer als der vorhergehenden y-Wert.
Die Formel für die steigende Monotonie lautet:
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
Das heißt, bei zunehmenden x-Werten ist jeder y-Wert stets größer oder gleich dem vorhergehenden y-Wert.
Die Formel für die streng fallende Monotonie lautet:
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Die Formel für die fallende Monotonie lautet:
x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)
Monotonie mit Darstellung der Funktionsgraphen
Monotonieverhalten richtig notieren

Intervallschreibweise:
Die Funktion f(x) = -x³ ist streng monoton fallend für ]-∞;∞[
Mengenschreibweise:
Die Funktion ist streng monoton fallend für alle x ∈ ℝ
Weiteres Beispiel
Intervallschreibweise:
Die Funktion ist streng monoton fallend für ]-∞;2]
und streng monoton steigend für [2;∞[
Mengenschreibweise:
Die Funktion ist streng monoton fallend für alle { x ∈ ℝ | x ≤ 2 }
und streng monoton steigend für alle { x ∈ ℝ | x ≥ 2 }
Abschnittsweise Funktionen
Abschnittsweise Funktionen werden wie folgt definiert und notiert, Beispiel:
Monotonieverhalten für den gesamten Graphen bestimmen:
Die Funktion ist monoton steigend für ]-∞;∞[
Monotonieverhalten für die einzelnen Abschnitte bestimmen:
fI(x) = -x² → Die Funktion ist monoton steigend für ]-∞;-2[
fII(x) = -4 → Die Funktion ist monoton steigend für [-2; 2]
fIII(x) = x²-8 → Die Funktion ist monoton steigend für ]2;∞[
Hier ist darauf zu achten, dass wir die -2 nicht in die Monotonie des ersten Abschnitts einschließen dürfen, weil x = -2 nicht in der Defintionsmenge dieses Abschnitts enthalten ist. Mit anderen Wort, x = -2 ist nicht Teil des 1. Abschnitts, sondern nur Teil des 2. Abschnitts.
Sonderfall bei konstanter Funktion und konstantem Funktionsabschnitt: Bei einer konstanten Funktion tritt der gleiche y-Wert hintereinander auf. Zum Beispiel für f(x)=4 haben wir die y-Werte 4, 4, 4, ... Für diesen Fall gilt die Definition der steigenden Monotonie, aber auch die der fallenden Montonie. Daher müssen wir sagen: Die konstante Funktion ist monoton steigend und monoton fallend.
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