Wissen: Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras

Dieser mathematische Satz wurde erstmals in Euklids Werk "Elemente" (Buch I, § 47) dokumentiert. Weshalb er nach Pythagoras benannt wurde, ist nicht vollständig geklärt. Diogenes Laertios (3. Jh. n. Chr.) zitierte Apollodoros (4. Jh. v. Chr.) mit:

Als Pythagoras einst das berühmte Verhältnis der Seiten entdeckte,
opferte er (Gott) prächtige Ochsen.

Quelle: A Manual of Greek Mathematics, 1931/2003, T. L. Heath

Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kann man bei einem rechtwinkligen Dreieck die unbekannte Dreiecksseite ausrechnen, wenn 2 Dreiecksseiten bekannt sind. Hierzu nutzt man Flächen (Quadrate), um einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksseiten herzustellen.

Nachstehend sehen wir eine Grafik, die man heutzutage in dieser Form in den meisten Lehrbüchern wiederfindet. Mit bloßem Auge ist hier jedoch nicht zu erkennen, dass die Flächen a² und b² tatsächlich genauso groß sind wie die Fläche c². Beim Beweis weiter unten wird dies jedoch deutlich.

Beweis zum Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras lässt sich auf viele Weisen grafisch herleiten (wie in den Pythagoras-Videos gezeigt). Nachstehend ein Beweis ausführlich festgehalten. Orientiert euch an dieser Grafik:

Zeichnet man ein großes Quadrat, bei dem jede der Seiten aus den Teilstrecken a und b besteht, erhält man für die Quadratsfläche die Formel (a+b)·(a+b). Diese Flächenformel lässt sich mittels der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren zu: (a+b)·(a+b) = a² + 2·a·b + b²

Gleichfalls ergibt sich die gesamte Quadratsfläche (a+b)·(a+b) aber auch, wenn wir die weiße Quadratsfläche c² und die 4 Dreiecksflächen addieren. Dies kann als Gleichung wie folgt festgehalten werden: c² + 4 · (a·b : 2). Daraus erhalten wir: c² + 2·a·b

Beide vorgenannten Flächen entstammen aus (a+b)·(a+b), sind also gleich groß. Wir dürfen sie demnach gleichsetzen:
(a+b)·(a+b) = (a+b)·(a+b) a² + 2·a·b + b² = c² + 2·a·b

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2·a·b abziehen, erhalten wir:
a² + b² = c² → der Satz des Pythagoras.

Hier sei noch ein Zahlenbeispiel zum Beweis gegeben, so wie es auch im Video vorkommt:

Nachweis für Quadratsfläche c²

Wenn wir die 4 grünen rechtwinkligen Dreiecke in das große Quadrat (a+b)² legen, warum ergibt sich dann eigentlich ein Quadrat im Inneren (mit den Seiten c)?

Diese Frage können wir beantworten, indem wir den Winkelsummensatz nutzen. Der Winkelsummensatz besagt, alle Innenwinkel eines Dreiecks müssen zusammen 180 Grad ergeben. Ist ein Winkel rechtwinklig, müssen die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel (Alpha und Beta) zusammen 90 Grad sein.

Bei der folgenden Grafik können wir erkennen, dass Alpha und Beta unten auf der Seite des großen Quadrats liegen und mit dem orangen Winkel einen gestreckten Winkel von 180 Grad bilden. Da α + β + oranger Winkel = 180° sein müssen, kann der orange Winkel als Teil des gestreckten Winkels nur eine Größe von 90° (also γ) haben:

Das Prinzip hinter dem Satz des Pythagoras

In den Videos sprechen wir auch das "Geheimnis" an, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Wir haben uns lange Zeit mit dem Thema beschäftigt und sind dabei zufällig auf das Skript von A. Givental (University of California, Berkeley) gestoßen, das den Pythagorasbeweis über ähnliche Flächen darstellt (hier wird als Quelle Euklid Buch VI genannt). Es ist einer der einleuchtesten Beweise vom Satz des Pythagoras. Und trotzdem findet ihr in den deutschen Mathematik-Lehrbüchern hierzu nichts. Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein (Ähnlichkeitsbeweis) ausfindig machen, der ebenfalls auf die Ähnlichkeiten zurückgreift. Auch dieser Beweis ist relativ unbekannt. Er beschreibt das Ähnlichkeitsprinzip und stellt einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.

Formell wird er so ausgedrückt: E_a = m·a², E_b = m·b², E_c = m·c²,
wobei E_a + E_b = E_c und damit auch m·a² + m·b² = m·c² → a² + b² = c²

"E" meint dabei die jeweilige Dreiecksfläche und "m" den Vergrößerungs-/Verkleinerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.

Die im Video gezeigte essentielle Animation stellt den Zusammenhang visuell dar, dabei wird das kleine Dreieck vergrößert und die Flächen werden zu Quadratsflächen gewandelt, der Flächeninhalt bleibt jedoch gleich (!) Aus diesem Grund können die ursprünglichen Dreiecksteilflächen A + B = C auch im Quadrat schließlich nur A² + B² = C² ergeben. Wichtig ist zu beachten, dass - auch wenn die Form der vergrößerten Dreiecksteilflächen verändert wird - der Flächeninhalt gleich bleibt.

Fazit: Die Quadrate sind eigentlich nichts weiter als vergrößerte Dreiecksflächen (die aus dem ursprünglichen Dreieck entspringen), deren Form verändert wurde.

Zusätzlicher Hinweis: Warum hat man dann die Form/Formel für Quadrate gewählt? Antwort: Die Form entscheidet über die Flächenformel. Die Flächenformel für das Quadrat benötigt nur einer Seite und ist damit die einfachste, um den Zusammenhang zwischen Seite und Fläche herzustellen.

Warum ist also a² + b² = c²?

Welches Geheimnis steckt nun wirklich dahinter? → Einfach gesagt: Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke E_a + E_b ergeben das gesamte Dreieck E_c, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben.

Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander

Aus dem Zusammenhang oben (Einstein) ergibt sich übrigens, dass der Verkleinerungs-/Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen - oder andersherum) für alle Flächen gleich ist. Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:

$$ \frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b} = \frac{c^2}{E_c} \text{ bzw. } \frac{E_a}{a^2} = \frac{E_b}{b^2} = \frac{E_c}{c^2} $$

Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung \(\frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b}\) und stellen ihn um, so erkennen wir einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.

Allgemein:

$$ \frac{E_a}{E_b} = \frac{a^2}{b^2} $$

Als Beispiel:

$$ \frac{2,16 \ cm^2}{3,84 \ cm^2} = \frac{9 \ cm^2}{16 \ cm^2} = 0,5625 $$

Wer noch weiter einsteigen möchte, sieht sich das Video Teil 3 an, wo wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Ähnlichkeit befassen.

Satz des Pythagoras beim gleichschenkligen Dreieck

Wenn man ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck verwendet, kann man die gleichen Flächenteile aus a² und b² leicht erkennen, die zusammen c² ergeben. Hier die entsprechende Grafik:

Demnach:
a² + b² = c²
a² + a² = c²
(A+B) + (C+D) = (A+B+C+D)

Anwendungen vom Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras kann immer angewendet werden, wenn es sich um ein ebenes rechtwinkliges Dreieck handelt, 2 Seiten bekannt sind und 1 unbekannte Seite berechnet werden soll. Hierzu findet man vielfältige Aufgaben wie zum Beispiel: Eine Leiter steht an einer Wand, Bauhöhe eines Leuchtturms, Berechnungen an Körpern wie Pyramiden etc.

Interessant ist auch der Zusammenhang, dass man jedes Quadrat "auseinanderbrechen" kann in zwei kleine Quadrate, und zwar entsprechend dem Satz des Pythagoras. Dabei muss es sich nicht immer um Längen handeln, das Prinzip funktioniert ebenfalls für Energie, Zeit, etc. Überall dort, wo wir Formeln mit einem Quadrat finden. Zum Beispiel: Eine Kreisfläche π·r² mit dem Radius 5 m kann aufgeteilt werden in zwei Kreisflächen mit dem Radius 4 m und 3 m. Zur Kontrolle:

A = π·r₁² = π·r₂² + π·r₃²
A = π·5² = π·4² + π·3²
A = π·25 = π·16 + π·9
A = π·25 = π·25

Im Alltag könnt ihr diese Kreisfläche bei einer Pizza ausmachen. Mit obigen Überlegungen: Die Fläche einer Pizza mit 5 cm Radius ist genauso groß wie die Fläche von zwei kleineren Pizzas mit Radius 4 cm und Radius 3 cm zusammen. Sinnvoller wären natürlich die Wahl von realistischen Pizzaradien wie: (50 cm)² = (40 cm)² + (30 cm)²

In der Physik habt ihr die Bewegungsenergie kennengelernt mit F = 1/2·m·v². Diese Gleichung enthält wieder ein Quadrat. Wir können sagen: (Energie bei 50 km/h) = (Energie bei 40 km/h) + (Energie bei 30 km/h). Es wirkt also bei 50 km/h die Kraft, die bei 30 km/h und 40 km/h zusammen entsteht. Oder anders ausgedrückt: Die Bewegungsenergie, die bei 50 km/h vorliegt, kann genutzt werden, um zwei gleiche Objekt mit den Geschwindigkeiten 40 km/h und 30 km/h zu bewegen.

Pythagoras-Rechner