Prinzip hinter dem Satz des Pythagoras
In diesem Artikel gehen wir auf das Prinzip ein, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Wir haben uns lange Zeit mit dem Thema beschäftigt und sind dabei zufällig auf das Skript von Alexander Givental (Berkeley University) gestoßen, das den Pythagorasbeweis über ähnliche Flächen darstellt (dort wird als Quelle „Euklid Buch VI“ genannt).
Es ist einer der einleuchtesten Beweise vom Satz des Pythagoras und trotzdem findet man in den deutschen Mathematik-Lehrbüchern nichts dazu.
Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein (Ähnlichkeitsbeweis) ausfindig machen, der ebenfalls auf die Ähnlichkeiten zurückgreift. Auch dieser Beweis ist relativ unbekannt. Er beschreibt das Ähnlichkeitsprinzip und stellt einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.
Formell wird er so ausgedrückt:
Ea = m·a², Eb = m·b², Ec = m·c², wobei Ea + Eb = Ec und damit auch m·a² + m·b² = m·c² → a² + b² = c²
E meint die jeweilige Dreiecksfläche und m den Vergrößerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.
Die folgende Animation stellt diesen Zusammenhang visuell dar. Das kleine Dreieck wird vergrößert und die Flächen werden zu Quadratsflächen gewandelt, der Flächeninhalt bleibt jedoch gleich (!) Aus diesem Grund können die ursprünglichen Dreiecksteilflächen A + B = C auch im Quadrat schließlich nur A² + B² = C² ergeben.
Wichtig ist zu beachten, dass - auch wenn die Form der vergrößerten Dreiecksteilflächen verändert wird - der Flächeninhalt gleich bleibt.
Fazit: Die Quadrate sind eigentlich nichts weiter als vergrößerte Dreiecksflächen (die aus dem ursprünglichen Dreieck entspringen), deren Form verändert wurde.
Warum die Form von Quadraten?
Es stellt sich noch die Frage, warum man die Form bzw. Formel für Quadrate gewählt hat.
Antwort: Die Form entscheidet über die Flächenformel.
Die Flächenformel für das Quadrat benötigt nur eine Seite und ist damit die einfachste, um den Zusammenhang zwischen Seite und Fläche herzustellen.
Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander
Wie gesagt, sind die Quadratsflächen nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke Ea + Eb ergeben das gesamte Dreieck Ec, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben.
Aus dem Zusammenhang ergibt sich, dass der Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen) für alle Flächen gleich ist.
Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:
\( \frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b} = \frac{c^2}{E_c} \text{ bzw. } \frac{E_a}{a^2} = \frac{E_b}{b^2} = \frac{E_c}{c^2} \)
Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung \(\frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b}\) und stellen ihn um, so erkennen wir übrigens einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.
Allgemein:
\( \frac{E_a}{E_b} = \frac{a^2}{b^2} \)
Als Beispiel:
\( \frac{2,16 \ cm^2}{3,84 \ cm^2} = \frac{9 \ cm^2}{16 \ cm^2} = 0,5625 \)