Prinzip hinter dem Satz des Pythagoras

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  1. Pythagoras-Rechner

In den Videos sprechen wir auch das "Geheimnis" an, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Wir haben uns lange Zeit mit dem Thema beschäftigt und sind dabei zufällig auf das Skript von A. Givental (University of California, Berkeley) gestoßen, das den Pythagorasbeweis über ähnliche Flächen darstellt (hier wird als Quelle Euklid Buch VI genannt). Es ist einer der einleuchtesten Beweise vom Satz des Pythagoras. Und trotzdem findet ihr in den deutschen Mathematik-Lehrbüchern hierzu nichts. Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein (Ähnlichkeitsbeweis) ausfindig machen, der ebenfalls auf die Ähnlichkeiten zurückgreift. Auch dieser Beweis ist relativ unbekannt. Er beschreibt das Ähnlichkeitsprinzip und stellt einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.

Formell wird er so ausgedrückt: Ea = m·a², Eb = m·b², Ec = m·c²,
wobei Ea + Eb = Ec und damit auch m·a² + m·b² = m·c² → a² + b² = c²

"E" meint dabei die jeweilige Dreiecksfläche und "m" den Vergrößerungs-/Verkleinerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.

Die im Video gezeigte essentielle Animation stellt den Zusammenhang visuell dar, dabei wird das kleine Dreieck vergrößert und die Flächen werden zu Quadratsflächen gewandelt, der Flächeninhalt bleibt jedoch gleich (!) Aus diesem Grund können die ursprünglichen Dreiecksteilflächen A + B = C auch im Quadrat schließlich nur A² + B² = C² ergeben. Wichtig ist zu beachten, dass - auch wenn die Form der vergrößerten Dreiecksteilflächen verändert wird - der Flächeninhalt gleich bleibt.

Prinzip hinter Satz Pythagoras (Animation)

Fazit: Die Quadrate sind eigentlich nichts weiter als vergrößerte Dreiecksflächen (die aus dem ursprünglichen Dreieck entspringen), deren Form verändert wurde.

Zusätzlicher Hinweis: Warum hat man dann die Form/Formel für Quadrate gewählt? Antwort: Die Form entscheidet über die Flächenformel. Die Flächenformel für das Quadrat benötigt nur einer Seite und ist damit die einfachste, um den Zusammenhang zwischen Seite und Fläche herzustellen.

Geheimnis hinter Satz des Pythagoras (Prinzip)

Warum ist also a² + b² = c²?

Welches Geheimnis steckt nun wirklich dahinter? → Einfach gesagt: Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke Ea + Eb ergeben das gesamte Dreieck Ec, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben.

Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander

Aus dem Zusammenhang oben (Einstein) ergibt sich übrigens, dass der Verkleinerungs-/Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen - oder andersherum) für alle Flächen gleich ist. Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:

$$ \frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b} = \frac{c^2}{E_c} \text{ bzw. } \frac{E_a}{a^2} = \frac{E_b}{b^2} = \frac{E_c}{c^2} $$

Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung \(\frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b}\) und stellen ihn um, so erkennen wir einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.

Allgemein:

$$ \frac{E_a}{E_b} = \frac{a^2}{b^2} $$

Als Beispiel:

$$ \frac{2,16 \ cm^2}{3,84 \ cm^2} = \frac{9 \ cm^2}{16 \ cm^2} = 0,5625 $$

Wer noch weiter einsteigen möchte, sieht sich das Video Teil 3 an, wo wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Ähnlichkeit befassen.

Pythagoras-Rechner

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