Trigonometrischer Pythagoras
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[Verbergen]Herleitung des Trigonometrischen Pythagoras
Erinnern wir uns zuerst an den Satz des Pythagoras mit a2 + b2 = c2. Wenn wir die Hypotenuse mit c = 1 festlegen, dann ergibt sich bei Anwendung am rechtwinkligen Dreieck:
a2 + b2 = c2 | c = 1
a2 + b2 = 12
a2 + b2 = 1
Wir wissen, dass bei einer Hypotenuse mit der Länge 1 die Gegenkathete dem Sinuswert entspricht und die Ankathete dem Kosinuswert. Also in der Abbildung b = Sinuswert und a = Kosinuswert:
a = cos(β) = AK / HY = a / 1
b = sin(β) = GK / HY = b / 1
Somit können wir einsetzen:
a2 + b2 = 1 | a = cos(β) und b = sin(β)
(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1
Das Quadratzeichen schreibt man direkt an das sin oder cos, wir notieren also:
cos2(β) + sin2(β) = 1
Dies ist der "Trigonometrische Pythagoras".
Alternative Herleitung zum trigonometrischen Pythagoras
Eine schnellere Herleitung ist algebraisch (rechnerischer Natur):
a2 + b2 = c2 | :c2
a2:c2 + b2:c2 = c2:c2
a2/c2 + b2/c2 = 1
(a/c)2 + (b/c)2 = 1 | a/c = cos(β)
(cos(β))2 + (b/c)2 = 1 | b/c = sin(β)
(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1
cos2(β) + sin2(β) = 1
sin2(β) + cos2(β) = 1
Hieraus ergibt sich auch ein neuer Zusammenhang:
sin2(β) + cos2(β) = 1
I. sin2(β) = 1 - cos2(β)
II. cos2(β) = 1 - sin2(β)
Beispielaufgabe Trigonometrischer Pythagoras
Verwenden wir die soeben kennengelernte Formel, um eine Gleichung zu lösen:
cos2(13°) + sin2(13°) = x
Jetzt wissen wir, dass cos2(β) + sin2(β) = 1 ist, damit lässt sich sofort lösen:
x = cos2(13°) + sin2(13°)
x = 1
Interpretieren wir den trigonometrischen Pythagoras als Funktionsgleichung und zeichnen ihn als Graph, so erhalten wir:
~plot~ sin(x)^2+cos(x)^2;sin(x)^2;cos(x)^2 ~plot~
Der blaue Funktionsgraph hat immer den y-Wert 1. Die geschwungenen Graphen für Sinus und Kosinus werden wir bei den Trigonometrischen Funktionen ausführlich erklären.
- Artikel:
- Der Einheitskreis (Einführung)
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Wichtige Sinus- und Kosinuswerte
- Tangenswerte am Einheitskreis
- Die Identitäten
- Identität: sin(α) = cos(90° - α)
- Identität: cos(α) = sin(90° - α)
- Identität sin(α) = cos(α + 90°)
- Identität sin(α) = -sin(-α)
- Identität cos(α) = cos(-α)
- Identität sin(90° + α) = sin(90° - α)
- Identität cos(90° + α) = -cos(90° - α)
- Identitäten sin(α) = sin(α + 360°) und cos(α) = cos(α + 360°)
- Warum Kosinus Ko-Sinus heißt
- Trigonometrischer Pythagoras
- Koordinatengleichung des Einheitskreises
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