Trigonometrischer Pythagoras

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Herleitung des Trigonometrischen Pythagoras

Erinnern wir uns zuerst an den Satz des Pythagoras mit a² + b² = c². Wenn wir die Hypotenuse mit c = 1 festlegen, dann ergibt sich bei Anwendung am rechtwinkligen Dreieck:

a² + b² = c² | c = 1
a² + b² = 1²
a² + b² = 1

Wir wissen, dass bei einer Hypotenuse mit der Länge 1 die Gegenkathete dem Sinuswert entspricht und die Ankathete dem Kosinuswert. Also in der Abbildung b = Sinuswert und a = Kosinuswert:

a = cos(β) = AK / HY = a / 1

b = sin(β) = GK / HY = b / 1

Somit können wir einsetzen:

a² + b² = 1 | a = cos(β) und b = sin(β)

(cos(β))² + (sin(β))² = 1

Das Quadratzeichen schreibt man direkt an das sin oder cos, wir notieren also:

cos²(β) + sin²(β) = 1

Dies ist der "Trigonometrische Pythagoras".

Alternative Herleitung zum trigonometrischen Pythagoras

Eine schnellere Herleitung ist algebraisch (rechnerischer Natur):

a² + b² = c² | :c²
a²:c² + b²:c² = c²:c²
a²/c² + b²/c² = 1
(a/c)² + (b/c)² = 1 | a/c = cos(β)
(cos(β))² + (b/c)² = 1 | b/c = sin(β)
(cos(β))² + (sin(β))² = 1
cos²(β) + sin²(β) = 1
sin²(β) + cos²(β) = 1

Hieraus ergibt sich auch ein neuer Zusammenhang:

sin²(β) + cos²(β) = 1
I. sin²(β) = 1 - cos²(β)
II. cos²(β) = 1 - sin²(β)

Beispielaufgabe Trigonometrischer Pythagoras

Verwenden wir die soeben kennengelernte Formel, um eine Gleichung zu lösen:

cos²(13°) + sin²(13°) = x

Jetzt wissen wir, dass cos²(β) + sin²(β) = 1 ist, damit lässt sich sofort lösen:

x = cos²(13°) + sin²(13°)
x = 1

Interpretieren wir den trigonometrischen Pythagoras als Funktionsgleichung und zeichnen ihn als Graph, so erhalten wir:

~plot~ sin(x)^2+cos(x)^2;sin(x)^2;cos(x)^2 ~plot~

Der blaue Funktionsgraph hat immer den y-Wert 1. Die geschwungenen Graphen für Sinus und Kosinus werden wir bei den Trigonometrischen Funktionen ausführlich erklären.