Trigonometrischer Pythagoras
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Herleitung des Trigonometrischen Pythagoras
Erinnern wir uns zuerst an den Satz des Pythagoras mit a² + b² = c². Wenn wir die Hypotenuse mit c = 1 festlegen, dann ergibt sich bei Anwendung am rechtwinkligen Dreieck:
\( a^2 + b^2 = c^2 \qquad | c = 1 \\ a^2 + b^2 = 1^2 \\ a^2 + b^2 = 1 \)
Wir wissen, dass bei einer Hypotenuse mit der Länge 1 die Gegenkathete dem Sinuswert entspricht und die Ankathete dem Kosinuswert. Also in der Abbildung b = Sinuswert und a = Kosinuswert:
\( a = \cos( \beta ) = \frac{AK}{HY} = \frac{a}{1} \)
\( b = \sin( \beta ) = \frac{GK}{HY} = \frac{b}{1} \)
Somit können wir einsetzen:
\( a^2 + b^2 = 1 \qquad | a = \cos( \beta ) \text{ und } b = \sin( \beta ) \\ ( \cos( \beta ))^2 + (\sin( \beta ))^2 = 1 \)
Das Quadratzeichen schreibt man direkt an das sin oder cos, wir notieren also:
\( cos^2(β) + sin^2(β) = 1 \)
Die Formel für den trigonometrischen Pythagoras.
Abbildung: Trigonometrischer Pythagoras
Die folgende Abbildung stellt den trigonometrischen Pythagoras am Einheitskreis dar:
Alternative Herleitung zum trigonometrischen Pythagoras
Eine schnellere Herleitung ist algebraisch (rechnerischer Natur):
a2 + b2 = c2 | :c2
a2:c2 + b2:c2 = c2:c2
a2/c2 + b2/c2 = 1
(a/c)2 + (b/c)2 = 1 | a/c = cos(β)
(cos(β))2 + (b/c)2 = 1 | b/c = sin(β)
(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1
cos2(β) + sin2(β) = 1
sin2(β) + cos2(β) = 1
Hieraus ergibt sich auch ein neuer Zusammenhang:
sin2(β) + cos2(β) = 1
I. sin2(β) = 1 - cos2(β)
II. cos2(β) = 1 - sin2(β)
Beispielaufgabe Trigonometrischer Pythagoras
Verwenden wir die soeben kennengelernte Formel, um eine Gleichung zu lösen:
cos2(13°) + sin2(13°) = x
Jetzt wissen wir, dass cos2(β) + sin2(β) = 1 ist, damit lässt sich sofort lösen:
x = cos2(13°) + sin2(13°)
x = 1
Interpretieren wir den trigonometrischen Pythagoras als Funktionsgleichung und zeichnen ihn als Graph, so erhalten wir:
~plot~ sin(x)^2+cos(x)^2;sin(x)^2;cos(x)^2 ~plot~
Der blaue Funktionsgraph hat immer den y-Wert 1. Die geschwungenen Graphen für Sinus und Kosinus werden wir bei den Trigonometrischen Funktionen ausführlich erklären.
