Zeitgenaue Zinsrechnung: Zeitraum gesucht
Es kann vorkommen, dass wir berechnen müssen, wie lange ein Kapital angelegt werden muss, damit man bei einem bestimmten Zinssatz eine bestimmte Höhe an Zinsen erhält. Bei so einer Aufgabe formen wir die Formel der zeitgenauen Zinsrechnung nach t um:
Z = K · p · t | :(K · p)
t = Z / (K · p)
Machen wir ein paar Beispielaufgaben hierzu:
1. Beispielaufgabe
Wie lange muss man ein Kapital in Höhe von 45.000 € zu einem Zinssatz von 12,3 % p.a. bei der Bank anlegen, um 4.858,50 € Zinsen zu erzielen?
Benutzen wir die Formel:
Z = K · p · t
t = Z / (K · p)
t = 4.858,50 € / (45.000 € · 0,123)
t ≈ 0,8778 Jahre
Wie bereits erwähnt, wird die Rechnung vereinfacht, indem man für die Zinsrechnung 30 Tage je Monate festlegt. Ein Jahr hat somit stets 360 Tage, es gibt keine Schaltjahre.
Wenn wir die rund 0,8778 Jahre nun so darstellen möchten, dass sie jeder versteht, wandeln wir entsprechend um, indem wir 1 Jahr = 360 Tage definieren und den Dreisatz anwenden:
1 Jahr = 360 Tage
0,8778 Jahre = x Tage
Damit:
\( \frac{1}{360} \) = \( \frac{0,8778}{x} \) | Kehrwert
\( \frac{360}{1} \) = \( \frac{x}{0,8778} \)
360 = \( \frac{x}{0,8778} \) | ·0,8778
x = 360 · 0,8778
x ≈ 316 Tage
Wir müssten unser Kapital also ungefähr 316 Tage anlegen, um die gewünschte Höhe an Zinsen zu erhalten.
Es ist auch wichtig zu wissen, dass man bei gegebenem Zeitraum mit Datumsbereich den ersten oder den letzten Tag nicht mitrechnet. Hat man also einen Zeitraum vom 1. Mai bis zum 15. Mai, so sagt man, dass der Zeitraum 14 Tage beinhaltet. Wir lassen also einen Tag aus dem Zeitraum weg.
2. Beispielaufgabe
Wir legen Geld in einem Zeitraum vom 15. Juni bis zum 25. Dezember an. Wie viele Tage beinhaltet unser Zeitraum?
Wir zählen durch: Wir haben den Zeitraum vom 15. Juni bis zum 30. Juni. Dann haben wir die Monate Juli, August, September, Oktober, November und zuletzt den Zeitraum vom 1. Dezember bis zum 25. Dezember.
Als Zeitraum erhalten wir damit:
t = (15. Jun bis 30. Jun) + Jul + Aug + Sep + Okt + Nov + (1. Dez bis 25. Dez)
Wir setzen für jeden vollen Monat 30 Tage ein:
t = (15. Jun bis 30. Jun) + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + (1. Dez bis 25. Dez)
Jetzt haben wir vom 15. bis zum 30. Juni genau 30 - 15 = 15 Tage und vom 1. Dezember bis zum 25. Dezember genau 25 - 1 = 24 Tage.
Wir erhalten damit:
t = (15. Jun bis 30. Jun) + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + (1. Dez bis 25. Dez)
t = 15 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 24
t = 189 Tage
Der Zeitraum wäre also 189 Tage.