TRI03: Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

Mathe-Videos

Als nächstes behandeln wir Rechtwinklige Dreiecke und schauen uns hierbei auch den Satz des Pythagoras an (kostenloses Video). Nach dieser Lektion können wir übrigens mit dem Sinus loslegen! Satz des Pythagoras einfach erklärt

Übrigens haben wir diesmal Video Teil 2 statt Teil 1 kostenfrei veröffentlicht, da wir denken, dass für viele von euch der Satz des Pythagoras wesentlich interessanter ist als die Dreiecksgrundlagen.

Mathe-Video TRI03-2 Rechtwinklige Dreiecke - Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras für jeden einfach erklärt, mithilfe von Flächen und der ersten Binomischen Formel. Wir zeigen verschiedene Beweismöglichkeiten. Inklusive geometrischer Herleitung.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI03-1 Rechtwinklige Dreiecke - Grundlagen

    Grundwissen zu den Dreiecken: Entstehung von Dreiecken, Dreiecksbeschriftung, Aufbau des Dreiecks, Dreiecksarten, Nachweis für den Winkelsummensatz 180°

  • TRI03-3 Rechtwinklige Dreiecke - Geheimnis hinter Pythagoras

    Das Prinzip des Pythagoras funktioniert auch für Dreiecke, Rechtecke, Kreise u.a. In diesem Video zeigen wir, warum das so ist und welcher Mechanismus sich dahinter verbirgt.

  • TRI03-4 Rechtwinklige Dreiecke - Satz des Thales

    Nachweis für den Satz des Thales: Es ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man den Durchmesser des Kreises als Grundseite betrachtet und einen weiteren Dreieckspunkt auf die Kreislinie setzt.

  • TRI03-5 Rechtwinklige Dreiecke - Höhensatz und Kathetensatz

    Wir zeigen, wie man die Höhe, und die Teilstrecken p und q berechnet. Dabei stoßen wir auf den Höhensatz und den Kathetensatz des Euklid.

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Testet nach den Videos euer Wissen auch mit den Matheprogrammen zu den Dreiecken und den Übungsaufgaben.

Wissen zur Lektion

Dreiecksbeschriftung

Die Eckpunkte des Dreiecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit A, B, C beschriftet. Der Winkel an einem Punkt erhält üblicherweise den Namen des Punktes mit kleinem griechischen Buchstaben (Punkt A → α, Punkt B → β, Punkt C → γ). Die einem Eckpunkt gegenüberliegende Seite erhält dessen Namen in Kleinbuchstaben (z. B. Punkt B liegt Seite b gegenüber).

Dreiecksbeschriftung zum Ausdrucken

Dreiecksarten

Jedes Dreieck ist ein "allgemeines Dreieck" (beliebiges Dreieck). Hat es jedoch besondere Eigenschaften, so erhält es eine andere Bezeichnung:

Dreiecksarten Allgemeine Dreiecke zum Drucken

Es gibt demnach sechs Dreiecksarten: Gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, unregelmäßiges Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck.

Dreieckshöhen

Eine Höhe wird senkrecht auf eine Dreiecksseite eingezeichnet und geht durch den darüberliegenden Punkt. Zum Beispiel steht Höhe b senkrecht auf Seite b und geht durch den gegenüberliegenden Punkt B.

Die Höhe (sofern sie innerhalb des Dreiecks liegt) teilt jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke (die zueinander ähnlich sind):

Dreieckshöhe

Winkelsummensatz

Der Winkelsummensatz (auch Innenwinkelsummensatz genannt) lautet: Alle drei Winkel des Dreiecks (Innenwinkel) ergeben zusammen 180 Grad. Kurz notiert: α + β + γ = 180°

Winkelsummensatz Dreieck 180 Grad

Der Nachweis des Winkelsummensatzes kann über Wechselwinkel erfolgen:

Nachweis Winkelsummensatz Dreieck 180 Grad

Kennt man zwei Winkel, so kann man den dritten berechnen. Fehlt zum Beispiel α, so kann man bestimmen: α = 180° - β - γ

Flächenberechnung

Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreiecks lässt sich berechnen, indem man die Seiten a und b miteinander multipliziert (es ergibt sich eine Rechtecksfläche) und dann halbiert (wir erhalten die Dreiecksfläche), siehe folgende Grafik:

Flächenberechnung Rechtwinkliges Dreieck

Merkt euch also die Flächenformel: A = a·b : 2

Der Satz des Pythagoras

Dieser mathematische Satz wurde erstmals in Euklids Werk "Elemente" (Buch I, § 47) dokumentiert. Weshalb er nach Pythagoras benannt wurde, ist nicht vollständig geklärt. Diogenes Laertios (3. Jh. n. Chr.) zitierte Apollodoros (4. Jh. v. Chr.) mit:

Als Pythagoras einst das berühmte Verhältnis der Seiten entdeckte,
opferte er (Gott) prächtige Ochsen.

Quelle: A Manual of Greek Mathematics, 1931/2003, T. L. Heath

Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kann man bei einem rechtwinkligen Dreieck die unbekannte Dreiecksseite ausrechnen, wenn 2 Dreiecksseiten bekannt sind. Hierzu nutzt man Flächen (Quadrate), um einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksseiten herzustellen.

Nachstehend sehen wir eine Grafik, die man heutzutage in dieser Form in den meisten Lehrbüchern wiederfindet. Mit bloßem Auge ist hier jedoch nicht zu erkennen, dass die Flächen a² und b² tatsächlich genauso groß sind wie die Fläche c². Beim Beweis weiter unten wird dies jedoch deutlich.

Satz des Pythagoras mit Quadratsflächen auf Dreiecksseiten

Beweis zum Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras Beweis

Den Satz des Pythagoras haben wir im Video (Teil 2) visuell und leicht verständlich dargestellt. Nachstehend die schriftlichen Ausführungen hierzu. Tipp: Schaut zum besseren Verständnis öfter auf die obige Grafik:

Zeichnet man ein großes Quadrat, bei dem jede der Seiten aus den Teilstrecken a und b besteht, erhält man für die Quadratsfläche die Formel (a+b)·(a+b). Diese Flächenformel lässt sich mittels der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren zu: (a+b)·(a+b) = a² + 2·a·b + b²

Gleichfalls ergibt sich die gesamte Quadratsfläche (a+b)·(a+b) aber auch, wenn wir die weiße Quadratsfläche c² und die 4 Dreiecksflächen addieren. Dies kann als Gleichung wie folgt festgehalten werden: c² + 4 · (a·b : 2). Daraus erhalten wir: c² + 2·a·b

Beide vorgenannten Flächen entstammen aus (a+b)·(a+b), sind also gleich groß. Wir dürfen sie demnach gleichsetzen:
(a+b)·(a+b) = (a+b)·(a+b) a² + 2·a·b + b² = c² + 2·a·b

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 2·a·b abziehen, erhalten wir:
a² + b² = c² → der Satz des Pythagoras.

Hier sei noch ein Zahlenbeispiel zum Beweis gegeben, so wie es auch im Video vorkommt:

Satz des Pythagoras - Zahlenbeispiel zum Beweis

Nachweis für Quadratsfläche c²

Wenn wir die 4 grünen rechtwinkligen Dreiecke in das große Quadrat (a+b)² legen, warum ergibt sich dann eigentlich ein Quadrat im Inneren (mit den Seiten c)?

Diese Frage können wir beantworten, indem wir den Winkelsummensatz nutzen. Der Winkelsummensatz besagt, alle Innenwinkel eines Dreiecks müssen zusammen 180 Grad ergeben. Ist ein Winkel rechtwinklig, müssen die beiden nicht-rechtwinkligen Winkel (Alpha und Beta) zusammen 90 Grad sein.

Bei der folgenden Grafik können wir erkennen, dass Alpha und Beta unten auf der Seite des großen Quadrats liegen und mit dem orangen Winkel einen gestreckten Winkel von 180 Grad bilden. Da α + β + oranger Winkel = 180° sein müssen, kann der orange Winkel als Teil des gestreckten Winkels nur eine Größe von 90° (also γ) haben:

Nachweis Quadratsfläche c²

Das Geheimnis hinter dem Satz des Pythagoras

In den Videos sprechen wir auch das "Geheimnis" an, das sich hinter dem Satz des Pythagoras verbirgt. Wir haben uns lange Zeit mit dem Thema beschäftigt und sind dabei zufällig auf das Skript von A. Givental (University of California, Berkeley) gestoßen, das den Pythagorasbeweis über ähnliche Flächen darstellt (hier wird als Quelle Euklid Buch VI genannt). Es ist einer der einleuchtesten Beweise vom Satz des Pythagoras. Und trotzdem findet ihr in den deutschen Mathematik-Lehrbüchern hierzu nichts. Nach einem Hinweis von Prof. Dr. Oldenburg (Goethe-Universität Frankfurt) konnten wir den Pythagoras-Beweis nach Einstein (Ähnlichkeitsbeweis) ausfindig machen, der ebenfalls auf die Ähnlichkeiten zurückgreift. Auch dieser Beweis ist relativ unbekannt. Er beschreibt das Ähnlichkeitsprinzip und stellt einen Zusammenhang zwischen den Dreiecksflächen und den Quadratsflächen her.

Formell wird er so ausgedrückt: Ea = m·a², Eb = m·b², Ec = m·c²,
wobei Ea + Eb = Ec und damit auch m·a² + m·b² = m·c² → a² + b² = c²

"E" meint dabei die jeweilige Dreiecksfläche und "m" den Vergrößerungs-/Verkleinerungsfaktor, der für alle Flächen gilt.

Die im Video gezeigte essentielle Animation stellt den Zusammenhang visuell dar, dabei wird das kleine Dreieck vergrößert und die Flächen werden zu Quadratsflächen gewandelt, der Flächeninhalt bleibt jedoch gleich (!) Aus diesem Grund können die ursprünglichen Dreiecksteilflächen A + B = C auch im Quadrat schließlich nur A² + B² = C² ergeben. Wichtig ist zu beachten, dass - auch wenn die Form der vergrößerten Dreiecksteilflächen verändert wird - der Flächeninhalt gleich bleibt.

Geheimnis hinter Pythagoras (Animation)

Fazit: Die Quadrate sind eigentlich nichts weiter als vergrößerte Dreiecksflächen (die aus dem ursprünglichen Dreieck entspringen), deren Form verändert wurde.

Zusätzlicher Hinweis: Warum hat man dann die Form/Formel für Quadrate gewählt? Antwort: Die Form entscheidet über die Flächenformel. Die Flächenformel für das Quadrat benötigt nur einer Seite und ist damit die einfachste, um den Zusammenhang zwischen Seite und Fläche herzustellen.

Geheimnis hinter Satz des Pythagoras (Prinzip)

Warum ist also a² + b² = c²?

Welches Geheimnis steckt nun wirklich dahinter? → Einfach gesagt: Die Quadratsflächen sind nichts weiter als die drei vergrößerten Dreiecksflächen in ihrer Form verändert. Die zwei Teildreiecke Ea + Eb ergeben das gesamte Dreieck Ec, daher müssen auch die um den gleichen Faktor vergrößerten Dreiecke (dann Quadrate a² + b²) das Gesamtdreieck (dann Quadrat c²) ergeben.

Flächenfaktor und Verhältnisse der Flächen zueinander
Aus dem Zusammenhang oben (Einstein) ergibt sich übrigens, dass der Verkleinerungs-/Vergrößerungsfaktor (um von den Dreiecksflächen auf die Flächeninhalte der Quadrate zu kommen - oder andersherum) für alle Flächen gleich ist. Dieser Flächenfaktor ergibt sich aus:

$$ \frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b} = \frac{c^2}{E_c} \text{ bzw. } \frac{E_a}{a^2} = \frac{E_b}{b^2} = \frac{E_c}{c^2} $$

Nehmen wir uns den ersten Teil der Gleichung \(\frac{a^2}{E_a} = \frac{b^2}{E_b}\) und stellen ihn um, so erkennen wir einen weiteren Zusammenhang:
Das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen zueinander entspricht dem Verhältnis ihrer Quadratsflächen zueinander.

Allgemein:

$$ \frac{E_a}{E_b} = \frac{a^2}{b^2} $$

Als Beispiel:

$$ \frac{2,16 \ cm^2}{3,84 \ cm^2} = \frac{9 \ cm^2}{16 \ cm^2} = 0,5625 $$

Wer noch weiter einsteigen möchte, sieht sich das Video Teil 3 an, wo wir uns in diesem Zusammenhang auch mit dem Thema Ähnlichkeit befassen.

Satz des Pythagoras beim gleichschenkligen Dreieck

Wenn man ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck verwendet, kann man die gleichen Flächenteile aus a² und b² leicht erkennen, die zusammen c² ergeben. Hier die entsprechende Grafik:

Pythagoras gleichschenkliges Dreieck

Demnach:
a² + b² = c²
a² + a² = c²
(A+B) + (C+D) = (A+B+C+D)

Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt: Es ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wenn man den Durchmesser des Kreises als Grundseite betrachtet und einen weiteren Dreieckspunkt auf die Kreislinie setzt. Eine alternative Formulierung lautet: Im Halbkreis ist jeder Peripheriewinkel ein rechter Winkel. Oder: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C immer einen rechten Winkel.

Satz des Thales

Berechnung der Dreiecksfläche über die Höhe

Neben der oben gezeigten Flächenformel für Rechtwinklige Dreiecke (A = a·b:2) existiert eine weitere Formel, die im Video Teil 5 hergeleitet wird und nachfolgend illustriert ist:

Dreiecksflächen-Berechnung über Höhe

Höhensatz des Euklid (Höhenformeln fürs Rechtwinklige Dreieck)

Sofern wir die Höhe ermitteln sollen, stehen uns zwei Formeln zur Verfügung, die wir ebenfalls im Video Teil 5 herleiten. Wir können die Höhe bereits ermitteln, wenn uns die Dreiecksseiten a, b und c gegeben sind. Genauso können wir die Höhe berechnen, wenn wir die Teilstrecken p und q kennen:

Höhenformeln (Rechtwinkliges Dreieck)

Die Formel h² = q·p bezeichnet man auch als Höhensatz des Euklid. Die Herleitung sei im Folgenden aufgeführt, für die Bezeichnung der Unbekannten vergleiche obige Dreiecksgrafik:

p² = a² - h² → = p² + h²

q² = b² - h² → = q² + h²

Satz des Pythagoras:

+ = c²   | Einsetzen der Formeln für a² und b²

(p² + h²) + (q² + h²) = c²

p² + h² + q² + h² = c²

p² + q² + 2·h² = c²   | c ergibt sich aus (p+q)

p² + q² + 2·h² = (p+q)²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²

p² + q² + 2·h² = p² + 2·p·q + q²   | -q² - p²

2·h² = 2·p·q   | :2

h² = p·q

Kathetensatz des Euklid

Erinnern wir uns, die Katheten sind die beiden kurzen Seiten des Dreiecks, also Seiten a und b. Wenn wir die Höhe auf c einzeichnen, erhalten wir die folgende bereits bekannte Grafik:

Rechtwinkliges Dreieck mit Strecken a,b,c,p,q

Es sind zwei kleine rechtwinklige Dreiecke entstanden, auf die wir nun den Satz des Pythagoras anwenden könnnen:

a² = p² + h²   | für h² setzen wir den Höhensatz von oben ein mit h²=p·q

a² = p² + (p·q)   | p ausklammern

a² = p · (p + q)   | (p+q) ist ja c, also ersetzen wir den Term mit c

a² = p · c   | das ist der 1. Teil des Kathetensatzes

Nun betrachten wir das zweite kleine Dreieck:

b² = q² + h²   | für h² setzen wir den Höhensatz von oben ein mit h²=p·q

b² = q² + (p·q)   | q ausklammern

b² = q · (q + p)   | (q+p) ist ja c, also ersetzen wir den Term mit c

b² = q · c   | das ist der 2. Teil des Kathetensatzes

Höhensatz und Kathetensatz des Euklid in einer Grafik:

Höhensatz und Kathetensatz des Euklid Grafik

Anwendungen vom Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras kann immer angewendet werden, wenn es sich um ein ebenes rechtwinkliges Dreieck handelt, 2 Seiten bekannt sind und 1 unbekannte Seite berechnet werden soll. Hierzu findet man vielfältige Aufgaben wie zum Beispiel: Eine Leiter steht an einer Wand, Bauhöhe eines Leuchtturms, Berechnungen an Körpern wie Pyramiden etc.

Interessant ist auch der Zusammenhang, dass man jedes Quadrat "auseinanderbrechen" kann in zwei kleine Quadrate, und zwar entsprechend dem Satz des Pythagoras. Dabei muss es sich nicht immer um Längen handeln, das Prinzip funktioniert ebenfalls für Energie, Zeit, etc. Überall dort, wo wir Formeln mit einem Quadrat finden. Zum Beispiel: Eine Kreisfläche π·r² mit dem Radius 5 m kann aufgeteilt werden in zwei Kreisflächen mit dem Radius 4 m und 3 m. Zur Kontrolle:

A = π·r1² = π·r2² + π·r3²
A = π·5² = π·4² + π·3²
A = π·25 = π·16 + π·9
A = π·25 = π·25

Im Alltag könnt ihr diese Kreisfläche bei einer Pizza ausmachen. Mit obigen Überlegungen: Die Fläche einer Pizza mit 5 cm Radius ist genauso groß wie die Fläche von zwei kleineren Pizzas mit Radius 4 cm und Radius 3 cm zusammen. Sinnvoller wären natürlich die Wahl von realistischen Pizzaradien wie: (50 cm)² = (40 cm)² + (30 cm)²

In der Physik habt ihr die Bewegungsenergie kennengelernt mit F = 1/2·m·v². Diese Gleichung enthält wieder ein Quadrat. Wir können sagen: (Energie bei 50 km/h) = (Energie bei 40 km/h) + (Energie bei 30 km/h). Es wirkt also bei 50 km/h die Kraft, die bei 30 km/h und 40 km/h zusammen entsteht. Oder anders ausgedrückt: Die Bewegungsenergie, die bei 50 km/h vorliegt, kann genutzt werden, um zwei gleiche Objekt mit den Geschwindigkeiten 40 km/h und 30 km/h zu bewegen.

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Mathe-Programme

  • Allgemeines Dreieck: Höhen, Winkel, Fläche, Umkreis
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    Mit diesem Programm könnt ihr ein allgemeines Dreieck festlegen und erhaltet die Höhe, die Winkel, die Fläche und den Umkreis mit Umkreisradius berechnet.
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    Hiermit kann nachgewiesen werden, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks stets 180 Grad ergeben muss.
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    Hier erkennt ihr, wie sich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks als Hälfte eines Rechtecks ergibt.
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    Bei der 1. Binomischen Formel erhalten wir a² + 2*ab + b². Für die gleiche Fläche erhalten wir bei anderer Dreiecksanordnung: c² + 2*ab. Daraus ergibt sich a² + b² = c²
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    Zwei geometrische Nachweise für den Satz des Pythagoras. Verschieben wir die Dreiecke, so erhalten wir zum einen c² und zum anderen a² und b².
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    Ein weiterer geometrischer Nachweis für den Satz des Pythagoras, bei dem zwei Dreiecksflächen aus a² und b² heraus verschoben werden, die dann c² ergeben.
  • Satz des Pythagoras: Nachweis
    Satz des Pythagoras: Nachweis
    Nachweis vom Satz des Pythagoras über das große Quadrat (a+b)², von dem 4 Dreiecksflächen abgezogen werden. Eigene Werte können eingegeben werden!
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    Satz des Pythagoras: Flächendarstellung
    Der Satz des Pythagoras in der am Häufigsten anzutreffenden Form dargestellt, bei der die Quadrate auf den Dreiecksseiten liegen.
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    Satz des Pythagoras: Prinzip verallgemeinert
    Dieses Programm veranschaulicht das Prinzip hinter dem Satz des Pythagoras. Die Flächen über den Dreiecken sind hier als Dreiecke gezeichnet, könnten aber auch andere Formen einnehmen.
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    Rechtwinklige Dreiecke: Satz des Thales
    Der Satz des Thales besagt, dass sich stets ein rechtwinkliges Dreieck ergibt, sofern man den Durchmesser eines Kreises als Grundseite betrachtet und einen weiteren Dreieckspunkt auf die Kreislinie setzt.
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    Rechtwinklige Dreiecke: Seiten berechnen
    Hier könnt ihr jeweils Werte für a, b oder c eingeben. Die restlichen Seiten bzw. Strecken im Dreieck werden über Höhen- und Kathetensatz berechnet.
  • Rechtwinklige Dreiecke: Winkel max. 90 Grad
    Rechtwinklige Dreiecke: Winkel max. 90 Grad
    Dieses Programm veranschaulicht, dass die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nie größer als 90 Grad sein können.
  • Seite, Quadrat und Wurzel Seite, Quadrat und Wurzel
    Legt eine Seite fest und ihr Quadrat wird als Fläche angezeigt. Mit Hilfe der Wurzel kommt ihr wieder zurück zur Seitenlänge.
  • Rechtwinklige Dreiecke: Ähnlichkeit
    Rechtwinklige Dreiecke: Ähnlichkeit
    Teilt die Höhe das rechtwinklige Dreiecke in zwei Teildreiecke, so sind alle Dreiecke zueinander ähnlich. Vergrößert, verkleinert, dreht und spiegelt die Dreiecke, um dies selbst festzustellen!
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Übungsaufgaben

A. Allgemeine Fragen zu Dreiecken:

1. Mit welchen Zeichen werden Dreieckspunkte beschriftet (Buchstaben, Zahlen oder griechische Buchstaben)?

2. Welche Zeichen benutzt man, um Dreiecksseiten zu benennen?

3. Wie werden Winkel verallgemeinert, also welche Zeichen werden zur Bezeichnung verwendet?

4. Zähle alle Dreiecksarten auf, die du kennst! Nach welchen beiden Kategorien werden Sie unterteilt?

5. Was ist eine Dreieckshöhe?


B. Sätze und Formeln bei Dreiecken

1. Wie lautet der Winkelsummensatz bei Dreiecken?

2. Mit welchem 'Hilfsmittel' wird der Winkelsummensatz bewiesen?

3. Wie berechnet sich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks?

4. Was besagt der Satz des Thales?


C. Benutze den Satz von Pythagoras, um die fehlende Seite zu berechnen. Hinweis: Seite c ist stets die längste Dreiecksseite!
1. Dreieck A: a = 3 cm, b = 4 cm, c = ... cm
2. Dreieck B: a = 7 cm, b = 9 cm, c = ... cm
3. Dreieck C: a = ... cm, b = 12 cm, c = 15 cm
4. Dreieck D: a = 4 cm, b = ... cm, c = 18 cm
5. Dreieck E: a = 33,5 m, b = 15 m, c = ... m
6. Dreieck F: a = 3,5 km, b = ... km, c = 4500 m


D. Überprüfe mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt:
1. Dreieck A: a = 9 cm, b = 4 cm, c = 1 cm
2. Dreieck B: a = 8 cm, b = 10 cm, c = 6 cm
3. Dreieck C: a = 13 cm, b = 4,5 cm, c = 5,5 cm
4. Dreieck D: a = 15 m, b = 5,513 m, c = 13,95 m
5. Dreieck E: a = 30 cm, b = 0,04 m, c = 5 dm


E. Aufgaben aus dem Alltag (Satz des Pythagoras):
1a. Ein Fußballfeld ist 90 m lang und 45 m breit. Ein Spieler rennt diagonal über das Spielfeld, von einer Eckfahne zur anderen. Wie viele Meter muss er rennen?
1b. Wenn der Fußballspieler 20 km/h läuft, wie lange dauert sein Sprint?

2. Ein Baum ist 4,50 m hoch und steht von uns 10 m entfernt. Wie lang müsste das Seil sein, das eine Verbindung herstellt zwischen uns (Bodenhöhe) und dem obersten Ende des Baumes?

3. Eine Leiter lehnt gegen eine Wand. Die Leiter ist 5,50 m lang, die Leiter steht unten 2,80 m von der Wand entfernt. Wie hoch ist die Wand?

4. Die Höhe eines Zirkuszeltes wird halbiert. Vorher war das Zelt 20 m hoch und wurde von 30 m langen Seilen gehalten. Wie lang müssen die neuen Seile sein?

5. Wenn die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die gleiche Länge "a" haben, wie lang ist dann die lange Seite?

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Pythagoras, Satz des Pythagoras, Phytagoras, pytagoras, pitagoras, pietagoras, dreiecke, katheten, hypotenuse, satz tales

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