VEK01: Einführung zu Vektoren

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Dies ist das erste Video zur Serie Vektoren. Hier lernen wir, was hinter dem Begriff "Vektor" steckt, wozu man Vektoren benutzen kann und wie sie uns beim Rechnen helfen.

Für Vektoren in der Ebene gibt es mehrere Definitionen. Die geometrische Definition lautet: Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke. Die algebraische ("rechnerische") Definition lautet: Ein Vektor ist ein Zahlenpaar. Erfahrt hierzu mehr in den Videos:

Mathe-Video VEK01-1 Einführung Vektoren - Geom. Verschiebung berechnen

Was bedeutet Vektor, geometrische Verschiebung in der Ebene mit Vektoren exakt berechnen, Komponenten des Vektors, Vektor als Pfeile mit bestimmter Länge und bestimmter Richtung, Vektornotation, Repräsentanten des Vektors.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • VEK01-2 Einführung Vektoren - Definition und Anwendungsbeispiele

    Was ist ein Vektor? Definition geometrisch und als Zahlenpaar. Schreibweisen für Vektoren. Geschwindigkeit als Anwendungsbeispiele für Vektoren: Gleichförmige Bewegung, kreisförmige Bewegung, Bewegung mit Verzögerung. Übungen zur Gleichheit von Vektoren.

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Wissen zur Lektion

Was ist ein Vektor?

Der Begriff Vektor kommt vom Lateinischen "vector" und bedeutet so viel wie "Träger" (im Sinne von transportieren/übertragen).

Rechnerisch ist ein Vektor schlicht ein Zahlenpaar:

Was ist ein Vektor

Geometrisch kann ein Vektor als Pfeil verstanden werden:

Was ist ein Vektor (grafisch)

Vektoren-Schreibweise

Vektoren kann man entweder in Spaltenform (also x und y untereinander) schreiben, man sagt dann Spaltenvektor dazu, meint jedoch nur die Schreibweise (es hat also nichts mit Ortsvektor o.a. zu tun). Schreibt man den Vektor in einer Zeile, so spricht man von der Schreibweise als Zeilenvektor:

zeilenvektor spaltenvektor

In Mathematik-Büchern trifft man oft auf verschiedene Notationen von Vektoren, die häufigste ist der Kleinbuchstabe mit dem Pfeil darüber. Es gibt aber auch andere Möglichkeiten:

vektoren notation

Besonderheit von Vektoren: Ortsunabhängig

Vektoren sind nicht an ihren Ort gebunden, sie besitzen keine Position. Erst wenn wir sie einzeichnen, z. B. in den Koordinatenursprung, erhalten sie eine Position (für das Beispiel nennen wir sie dann Ortsvektoren). Die im Koordinatensystem an verschiedenen Orten gezeichneten gleichen Vektoren (Länge und Richtung stimmen überein) sind Repräsentaten des Vektors.


vektoren repräsentanten

Gleichheit von Vektoren

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleichen Komponenten haben bzw. geometrisch die gleiche Länge und gleiche Richtung besitzen. Im Folgenden ein Beispiel für Gleichheit und Ungleichheit:

gleichheit vektoren
keine gleichheit vektoren

Namen für Vektoren (z. B. Verschiebungsvektoren)

Vektoren gibt man unterschiedliche Namen, je nachdem, welche Funktion sie erfüllen. Im Einführungsvideo haben wir mit den Vektoren Punkte verschoben, daher nennen wir sie in diesem Fall Verschiebungsvektoren. In der nächsten Lektion Vektoren bestimmen lernen wir weitere Namen kennen, und zwar Ortsvektoren und Verbindungsvektoren.

Verschiebungsvektoren

Mathe-Programme zu Vektoren

Im Folgenden findet ihr einige Programme, mit denen ihr das neue Wissen zu Vektoren aus den Videos testen könnt:

  • Koordinatensystem (Linien 2)
    Koordinatensystem (Linien 2)
    In diesem Koordinatensystem bewegt ihr einen Punkt, dessen Koordinaten P(x|y) angezeigt werden. Die Linien helfen euch beim Ablesen.
  • Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Vektor
    Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Vektor
    Hier könnt ihr euch testen, ob ihr den Unterschied zwischen Punkt, Strecke, Strahl, Gerade und Vektor erkennt.
  • Vektoren Einführung Vektoren Einführung
    Dieses Programm ist eine Einführung in die Vektoren. Eine geometrische Verschiebung wird durch Vektoren (Zahlenpaare) exakt berechenbar gemacht.
  • Vektorbeispiel Geschwindigkeit 1 Vektorbeispiel Geschwindigkeit 1
    Vektoren helfen uns, Geschwindigkeiten zu beschreiben. Mit diesem Programm könnt ihr ein Auto eine gleichförmige Bewegung ausführen lassen.
  • Vektorbeispiel Geschwindigkeit 2 Vektorbeispiel Geschwindigkeit 2
    Vektoren helfen uns, Geschwindigkeiten zu beschreiben. Mit diesem Programm könnt ihr ein Auto eine kreisförmige Bewegung ausführen lassen.
  • Vektorbeispiel Geschwindigkeit 3
    Vektorbeispiel Geschwindigkeit 3
    Vektoren helfen uns, Geschwindigkeiten zu beschreiben. Mit diesem Programm könnt ihr ein Auto eine verzögerte Bewegung ausführen lassen.
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Übungsaufgaben

A: Allgemeine Fragen

Mit diesen Fragen könnt ihr überprüfen, ob ihr den Inhalt dieser Lektionen verstanden habt.

1. Wir wollen den Punkt A auf den Punkt B verschieben. Was haben Vektoren damit zu tun?

2. Wir haben einen Punkt A und einen Punkt B. Der Punkt A wird auf den Punkt B verschoben. Nehmen wir an, wir haben diese Verschiebung in einem Koordinatensystem vor uns liegen. Wie kann man nun die Verschiebung bestimmen?

3. Ein Dreieck ABC soll verschoben werden. Der Punkt A wird mit dem Vektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} \) verschoben. Um welchen Vektor müssen die Punkte B und C verschoben werden?

4. Ein Vektor \( \vec{u} \) modelliert die Fahrt eines Autos. Was bedeutet in diesem Fall die Länge des Vektors?

5. Zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) sind gleich lang und zeigen in die selbe Richtung. Was können wir über diese Vektoren aussagen?

B: Vektoren ablesen

Lese die folgenden drei Vektoren \( \color{red}{\vec{a}} \), \( \color{blue}{\vec{b}} \) und \( \color{green}{\vec{c}} \) aus der Abbildung ab.

Aufgabe Vektoren ablesen

C: Eckpunkte bestimmen

Gegeben ist ein Quadrat und ein Dreieck. Die Vektoren \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{d} \), \( \vec{e} \), \( \vec{f} \), \( \vec{g}\), zeigen vom Nullpunkt auf die jeweilig gleichnamigen Eckpunkte der Figuren. Lese diese Vektoren ab.

Zusatz: Was denkt ihr, kann man über die Länge der Vektoren von einem Eckpunkt des Quadrats zu einem benachbarten Eckpunkt aussagen?

Aufgabe Vektoren Quadrat Dreieck

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Vektorrechnung, Vektoreinführung, einfach, Vektoren für Schüler und Schule

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