Übersicht 1. und 2. Ableitungen von Funktionen
Wir hatten die Differentialrechnung bereits ausführlich behandelt und eine Übersicht der Ableitungsregeln gegeben.
Im Folgenden eine Übersicht von ersten und zweiten Ableitungen elementarer und spezieller Funktionen. Wir leiten ab: xn, √x, ax, ex, ln(x), log(x), sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x).
| Funktion | 1. Ableitung | 2. (und k-te Ableitung) |
|---|---|---|
| a = const. | 0 | 0 |
| \( y = x^n \) | \( y = n·x^{n-1} \) | \( y = n·(n-1)·x^{n-2} \) |
| \( y = \sqrt{x} \) | \( y = \frac{1}{2·\sqrt{x}} \) | \( y = -\frac{1}{4·x·\sqrt{x}} \) |
| \( y = a^x; \quad (a>0, a\neq 1) \) | \( y' = a^x · \ln(a) = \frac{a^x}{ \log_{a}{(e)} } \) | \( y'' = a^x · \ln(a)·\ln(a) \) |
| \( y = e^x \) | \( y' = e^x \) | \( y'' = e^x; \quad {y}^{(k)} = e^x \) |
| \( y = \ln(x); \quad (x>0) \) | \( y' = \frac{1}{x} \) | \( y'' = -\frac{1}{x^2} \) |
| \( y = \log_{a}{x}; \\ (a>0,a\neq 1;x>0) \) | \( y' = \frac{1}{x·\ln(a)} \) | \( y'' = -\frac{1}{x^2 · \ln(a)} \) |
| \( y = \sin(x) \) | \( y' = \cos(x) \) | \( y'' = -\sin(x) \) |
| \( y = \cos(x) \) | \( y' = -\sin(x) \) | \( y'' = -\cos(x) \) |
| \( y = \tan(x) \) | \( y' = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) \) | \( y'' = 2 \tan(x)·(1+\tan^2(x)) \) |
| \( y = \arcsin(x) \) | \( y' = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \) | \( y'' = \frac{x}{ (1-x^2)·\sqrt{1-x^2} } \) |
| \( y = \arccos(x) \) | \( y' = \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } \) | \( y'' = \frac{-x}{ (1-x^2)·\sqrt{1-x^2} } \) |
| \( y = \arctan(x) \) | \( y' = \frac{1}{1+x^2} \) | \( y'' = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \) |
| \( y = \sinh(x) \) | \( y' = \cosh(x) \) | \( y'' = \sinh(x) \) |
| \( y = \cosh(x) \) | \( y' = \sinh(x) \) | \( y'' = \cosh(x) \) |
| \( y = \tanh(x) \) | \( \begin{aligned} y' &= \frac{1}{cosh^2(x)} \\ &= sech^2(x) \end{aligned} \) | \( \begin{aligned} y'' &= -2 \tanh(x) · \frac{1}{cosh^2(x)} \\ &= -2 \tanh(x) · sech^2(x) \end{aligned} \) |
| \( y = \coth(x) \) | \( \begin{aligned} y' &= -\frac{1}{sinh^2(x)} \\ &= -csch^2(x) \end{aligned} \) | \( \begin{aligned} y' &= 2·\coth(x)·\frac{1}{sinh^2(x)} \\ &= 2·\coth(x)·csch^2(x) \end{aligned} \) |
Formelsammlung Differentialrechnung