Übersicht 1. und 2. Ableitungen von Funktionen

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Wir hatten die Differentialrechnung bereits ausführlich behandelt und eine Übersicht der Ableitungsregeln gegeben.

Im Folgenden eine Übersicht von ersten und zweiten Ableitungen elementarer und spezieller Funktionen. Wir leiten ab: xn, Wurzel x, ax, ex, ln(x), log(x), sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x).

Funktion 1. Ableitung 2. (und k-te Ableitung)
$$ a = const. $$ $$ 0 $$ $$ 0 $$
$$ y = x^n $$ $$ y = n·x^{n-1} $$ $$ y = n·(n-1)·x^{n-2} $$
$$ y = \sqrt{x} $$ $$ y = \frac{1}{2·\sqrt{x}} $$ $$ y = -\frac{1}{4·x·\sqrt{x}} $$
$$ y = a^x; \quad (a>0, a\neq 1) $$ $$ y' = a^x\cdot \ln(a) = \frac{a^x}{\log_{a}{(e)}} $$ $$ y'' = a^x\cdot \ln(a)\cdot\ln(a) $$
$$ y = e^x $$ $$ y' = e^x $$ $$ y'' = e^x; \quad {y}^{(k)} = e^x $$
$$ y = \ln(x); \quad (x>0) $$ $$ y' = \frac{1}{x} $$ $$ y'' = -\frac{1}{x^2} $$
$$ y = \log_{a}{x}; \quad (a>0,a\neq 1;x>0) $$ $$ y' = \frac{1}{x\cdot\ln(a)} $$ $$ y'' = -\frac{1}{x^2\cdot\ln(a)} $$
$$ y = \sin(x) $$ $$ y' = \cos(x) $$ $$ y'' = -\sin(x) $$
$$ y = \cos(x) $$ $$ y' = -\sin(x) $$ $$ y'' = -\cos(x) $$
$$ y = \tan(x) $$ $$ y' = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) $$ $$ y'' = 2 \tan(x)\cdot(1+\tan^2(x)) $$
$$ y = \arcsin(x) $$ $$ y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ y'' = \frac{x}{(1-x^2)\cdot\sqrt{1-x^2}} $$
$$ y = \arccos(x) $$ $$ y' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ y'' = \frac{-x}{(1-x^2)\cdot\sqrt{1-x^2}} $$
$$ y = \arctan(x) $$ $$ y' = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ y'' = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} $$
$$ y = \sinh(x) $$ $$ y' = \cosh(x) $$ $$ y'' = \sinh(x) $$
$$ y = \cosh(x) $$ $$ y' = \sinh(x) $$ $$ y'' = \cosh(x) $$
$$ y = \tanh(x) $$ $$ \begin{align} y' &= \frac{1}{cosh^2(x)} \\ &= sech^2(x) \end{align} $$ $$ \begin{align} y'' &= -2 \tanh(x) · \frac{1}{cosh^2(x)} \\ &= -2 \tanh(x) · sech^2(x) \end{align} $$
$$ y = \coth(x) $$ $$ \begin{align} y' &= -\frac{1}{sinh^2(x)} \\ &= -csch^2(x) \end{align} $$ $$ \begin{align} y' &= 2·\coth(x)·\frac{1}{sinh^2(x)} \\ &= 2·\coth(x)·csch^2(x) \end{align} $$

Formelsammlung Differentialrechnung.

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