Bei den Identitäten hatten wir unter anderem diese Identität kennengelernt:

cos(α) = sin(α + 90°)

In Worten: Der Kosinus ist nichts weiter als der Sinus um 90° verschoben.

Diesen Sachverhalt können wir nun mit Hilfe des Additionstheorems beweisen:

cos(α) = sin(α + 90°)

sin(α + 90°) = cos(α)

Additionstheorem:

sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) | β = 90°
sin(α + 90°) = sin(α) · cos(90°) + cos(α) · sin(90°)
sin(α + 90°) = sin(α) · 0 + cos(α) · 1
sin(α + 90°) = cos(α)

Fertig.

Nachweis für Sinuswerte größer 90° mit dem Additionstheorem

Wir hatten in den einführenden Lektionen zum Sinus gesagt, dass der Sinus auch für Winkel größer 90° definiert ist. Mit Hilfe der Additionstheoreme lässt sich dies ebenfalls nachweisen. Ein Beispiel:

sin(120°) = ?

sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) | Werte wählen: a = 30° und β = 90°
sin(30° + 90°) = sin(30°) · cos(90°) + cos(30°) · sin(90°)
sin(30° + 90°) = sin(30°) · 0 + cos(30°) · 1
sin(30° + 90°) = cos(30°) ≈ 0,866
sin(120°) ≈ 0,866

Nachweis für Sinuswerte über 90 Grad