Identität mit Additionstheorem beweisen
Bei den Identitäten hatten wir unter anderem diese Identität kennengelernt:
cos(α) = sin(α + 90°)
In Worten: Der Kosinus ist nichts weiter als der Sinus um 90° verschoben.
Diesen Sachverhalt können wir nun mit Hilfe des Additionstheorems beweisen:
cos(α) = sin(α + 90°)
sin(α + 90°) = cos(α)
Additionstheorem:
sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) | β = 90°
sin(α + 90°) = sin(α) · cos(90°) + cos(α) · sin(90°)
sin(α + 90°) = sin(α) · 0 + cos(α) · 1
sin(α + 90°) = cos(α)
Fertig.
Nachweis für Sinuswerte größer 90° mit dem Additionstheorem
Wir hatten in den einführenden Lektionen zum Sinus gesagt, dass der Sinus auch für Winkel größer 90° definiert ist. Mit Hilfe der Additionstheoreme lässt sich dies ebenfalls nachweisen. Ein Beispiel:
sin(120°) = ?
sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β) | Werte wählen: a = 30° und β = 90°
sin(30° + 90°) = sin(30°) · cos(90°) + cos(30°) · sin(90°)
sin(30° + 90°) = sin(30°) · 0 + cos(30°) · 1
sin(30° + 90°) = cos(30°) ≈ 0,866
sin(120°) ≈ 0,866
