Doppelwinkelfunktion für Sinus
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[Verbergen]Einführung Doppelwinkelfunktionen
Die Doppelwinkelfunktionen (auch “Doppelwinkel”) sind ein Spezialfall der Additionstheoreme. Wir betrachten uns Sinus, Kosinus und Tangens für den Fall, dass wir den doppelten Winkel haben:
sin(2·α) = ?
cos(2·α) = ?
tan(2·α) = ?
Doppelwinkelfunktion für Sinus
Um hier eine Lösungsformel zu bilden, können wir das 2·a als (α + α) notieren:
sin(2·α) = ...
sin(α + α) = ...
Und nun das Additionstheorem für Sinus nutzen:
sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) | ß = a
sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + cos(α) · sin(α)
sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + sin(α) · cos(α)
Wir sehen, dass der Term sin(α) · cos(α) zwei Mal vorhanden ist, wir schreiben also:
sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)
Als nächstes wollen wir das cos(α) ersetzen, hierzu erinnern wir uns an den trigonometrischen Pythagoras:
cos2(α) + sin2(α) = 1
Formen wir diese Gleichung um nach Kosinus:
cos2(α) + sin2(α) = 1 | - sin2(α)
cos2(α) = 1 - sin2(α) | √
cos(α) = √( 1 - sin2(α) )
Wir können nun cos(α) ersetzen:
sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)
sin(α + α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin2(α) )
Und dies ist die Lösungformel:
sin(2·α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin2(α) )
- Artikel:
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