Doppelwinkelfunktion für Sinus

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Einführung Doppelwinkelfunktionen

Die Doppelwinkelfunktionen (auch “Doppelwinkel”) sind ein Spezialfall der Additionstheoreme. Wir betrachten uns Sinus, Kosinus und Tangens für den Fall, dass wir den doppelten Winkel haben:

sin(2·α) = ?
cos(2·α) = ?
tan(2·α) = ?

Doppelwinkelfunktion für Sinus

Um hier eine Lösungsformel zu bilden, können wir das 2·a als (α + α) notieren:

sin(2·α) = ...
sin(α + α) = ...

Und nun das Additionstheorem für Sinus nutzen:

sin(α + ß) = sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) | ß = a

sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + cos(α) · sin(α)

sin(α + α) = sin(α) · cos(α) + sin(α) · cos(α)

Wir sehen, dass der Term sin(α) · cos(α) zwei Mal vorhanden ist, wir schreiben also:

sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)

Als nächstes wollen wir das cos(α) ersetzen, hierzu erinnern wir uns an den trigonometrischen Pythagoras:

cos²(α) + sin²(α) = 1

Formen wir diese Gleichung um nach Kosinus:

cos²(α) + sin²(α) = 1   | - sin²(α)

cos²(α) = 1 - sin²(α)   | √

cos(α) = √( 1 - sin²(α) )

Wir können nun cos(α) ersetzen:

sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α)

sin(α + α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin²(α) )

Und dies ist die Lösungformel:

sin(2·α) = 2 · sin(α) · √( 1 - sin²(α) )